Uma fábrica produz um determinado artigo e vende-o com lucro mensal dado
pela expressão L(q) = −q3 + 12q2 + 60q − 4, onde q representa a quantidade produzida
mensalmente. Qual a produção que maximiza o lucro? Qual é esse lucro máximo?
Soluções para a tarefa
Resposta:
L(q) = −q³ + 12q² + 60q − 4
L'(q) =-3q²+24q+60
-3q²+24q+60=0
divida por (-3)
q²-8q-20=0
q'=-2
q''=10
L''(q)=-6q+24
L''(-2)= 12+24 > 0 ...ponto de mínimo
L''(10)= -60+24 < 0 ...ponto de máximo
Produção que maximiza o Lucro ==> 10
L(10)=-10^3+12*10^2 +60*10-4 = R$ 796,00 é o lucro máximo
Resposta: q = 10 e L = 796
Explicação passo a passo:
L(q) = −q³ + 12q² + 60q − 4,
Calcule a a derivada,
L'(x) = 3(-1)q² + 2(12)q + 60 = - 3q² + 24q + 60
Iguale a derivada a zero e calcule as raízes da equação do 2º grau.
-3q² + 24q + 60 = 0
Para facilitar a resolução da equação divida todos os termos por - 3.
q² - 8q - 20 = 0
Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144
√144 = 12
Usando Bhaskara,
q = (8 ± 12)/2
q' = (8 + 12)/2 = 20/2 = 10
q" = (4 - 12)/2 = - 4/2 = - 2(descartar pois a quantidade produzida "q" não pode ser < 0}
A produção que maximiza o lucro é q = 10
O lucro máximo será o valor a função quando q = 10.
L(10) = -(10)³ + 12(10)² + 60(10) - 4 = -1000 + 1200 + 600 - 4
L(10) = 1800 - 1004 = 796
Lucro máximo = 796