Question

Uma fábrica produz 8 tipos de bombons que são vendidos em
caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas
diferentes podem ser formadas de maneira que cada caixa contenha pelo
menos um bombom de cada tipo?
(a) Modele o problema como uma equação com restrições, justificando..
(b) Resolva o problema.

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Answer 1

Gabarito:

a) x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ = 30; xₙ ≥ 1, ∀n ∈ |N/ 1 ≥ n ≥ 8

b) 1570680

Explicação:

Veja que como a caixa tem que ter 30 bombons ao todo, então existe uma equação que relaciona a quantidade de cada bombom presente na caixa com uma incógnita diferente.

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ = 30,

Em que xₙ representa quantos bombons do tipo n existem na caixa (n é natural e vai de 1 a 8).

Essa expressão indica que a soma das quantidades individuais de bombons logicamente resultará no montante total de doces na caixa: 30. No entanto, há a restrição de que pelo menos um bombom de cada tipo deve existir na caixa, o que impede alguma das incógnitas ser igual a zero.

Dessa maneira, impõe-se como restrição que: xₙ ≥ 1, para qualquer n natural ∈ [1,8].

O próximo passo para solucionar o problema é perceber de antemão que a questão é de combinação com repetição (combinação completa), já que a ordem dos bombons na caixa não importa e podemos repetir os doces na caixa.

Agora acompanhe o seguinte raciocínio: imagine uma divisória com existem 8 categorias do tipo do bombom - portanto 7 divisórias - onde em cada espaço cabem quantos bombons forem necessários até que o total resulte em 30.

Supondo que os separadores sejam móveis, então se adicionarmos os 30 bombons e os permutarmos com as 7 divisórias, teremos exatamente a combinação completa de 30 elementos tomados 8 a 8, que será calculada pela permutação de 30 + 7 elementos com 30 e 7 repetições. Ou seja, virou um problema de uma permutação com repetição cuja fórmula já conhecemos.

$\boxed{CR_{8}^{30} = P_{30+7}^{30,7}}$

Acontece que como cada compartimento deve existir 1 bombom, então não será necessário os levar em conta, já que podemos adicioná-los em cada categoria ao final. Assim, na verdade, a fórmula correta é feita com a permutação de 22 bombons (30 - 8) a serem permutados entre 7 divisórias de categorias.

$\boxed{P_{22+7}^{22,7} = P_{29}^{22,7}}$

Aplicando a fórmula conhecida da permutação com repetição:

$P_{29}^{22,7} = \dfrac{29!}{22!\cdot7!} = \dfrac{29\cdot28\cdots 24 \cdot 23}{7\cdot 6 \cdots 3 \cdot 2} = \boxed{1560780}$

E o que é que isso tem a ver com a equação montada anteriormente? Tudo! Percebeu-se que a quantidade de soluções não-negativas (nula e positivos) de uma equação do tipo: a₁ + a₂ + ... + aₙ = b, com n termos é igual à combinação com repetição de b elementos com n categorias.

$\boxed{CR_{n}^b}$

Nessa situação, como os valores não podem ser negativos, vamos fazer uma substituição do tipo xₙ = aₙ + 1, para cada n. Assim, admitir-se-á aₙ iguais a 0.

a₁ + 1 + a₂ + 1 + a₃ + 1 + a₄ + 1 + a₅ + 1 + a₆ + 1 + a₇ + 1 + a₈ + 1 = 30

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ = 22

Logo, n = 8, b = 22:

$\boxed{CR_{8}^{22} = P_{22+7}^{22,7} = P_{29}^{22,7} = 1570680}$