Question

Uma fábrica de tijolos necessita de argila como matéria prima. O frete é o principal responsável na precificação da argila. Para restringir a área de captação de fornecedores, no intuito de minimizar os custos, um engenheiro desenvolveu a seguinte equação: x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, a qual limita a área de fornecimento. Qual é a distância máxima, em Km, de potenciais fornecedores?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando, que a resolução é simples.
Tem-se que a equação é de uma circunferência, que é dada por:

x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0.

Note que a distância máxima será a medida do raio dessa circunferência. Então, para encontrarmos isso, teremos que descobrir qual é o centro da circunferência e o seu raio (r).
Para isso, vamos, primeiro completar os quadrados da circunferência cuja equação está dada aí em cima, tendo-se o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos em função da completação dos quadrados.
Vamos logo ordenar a equação, ficando assim:

x² - 4x + y² - 6y - 12 = 0 ---- agora vamos completar os quadrados (lembre-se: tendo-se o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos em função da "completação" dos quadrados):

(x-2)² - 4 + (y-3)² - 9 - 12 = 0
(x-2)² + (y-3)² - 4 - 9 - 12 = 0
(x-2)² + (y-3)² - 25 = 0 ----- passando-se "25" para o 2º membro, teremos:
(x-2)² + (y-3)² = 25 ---- note que 25 = 5². Assim:
(x-2)² + (y-3)² = 5²      . (I)

Agora note uma coisa: uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , terá a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²    . (II)

Agora note: se você comparar as expressões (I) e (II) já vai concluir (logo de "cara") que a equação da circunferência da sua questão tem centro (C) e raio (r) iguais a:

C(2; 3) e raio = 5.

Como queremos a distância máxima dos fornecedores de argila em quilômetros, então já sabemos que esta distância é igual ao raio (que é igual a "5"). Logo:

5km <---- Esta é a resposta. Esta é a distância máxima, em quilômetros, dos fornecedores de argila.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.