Question

Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 70,00 cada. O custo total de produção consiste de um custo fixo de R$ 8.000,00 somada ao custo de produção a partir de um custo variável por unidade de R$ 30,00. Determine:

a) as funções receita e custo e lucro total.
b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio?
c) Se forem vendidas 300 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante?
d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00
e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo.

Answer 1

Resposta:Solução:

r: receita  

q: qtde de mesas  

p: custo_de_producao  

s: sobretaxa  

l: lucro  

a) receita = preço_de_venda x qtde_de_mesas  

r = 70q  

custo = sobretaxa + custo_de_producao x qtde_de_mesas  

c = s + p x q  

c = 8000 + 30q  

lucro_total = receita - custo  

l = r - c  

l = 70q - 8000 - 30q  

l = 40q - 8000  

b) O ponto de nivelamento é quando nao se tem prejuizo e nem lucro, ou seja, quando as contas zeram e o lucro é zero.  

l = 40q - 8000  

0 = 40q - 8000  

40q = 8000  

q = 8000/40  

q = 200 (precisa vender 200 mesas pra zerar as despesas)  

c) lucro p/ 250 mesas:  

l = 40q - 8000  

l = 40(250) - 8000  

l = 2000 de lucro  

d) qtde p/ 6000 de lucro:  

l = 100q - 8000  

6000 = 40q - 8000  

40q = 6000 + 8000  

q = 350 mesas  

e) esse é um gráfico. Pra fazer esse gráfico, você vai construir duas retas:  

Primeira reta: é o grafico da receita:  

r = 70q  

Vou escolher 2 valores para q (0 e 1).  

r = 70(0) = 0  

r = 70(1) = 70  

Ou seja, faça uma reta que passe no ponto (x,y) = (0, 1) e no ponto (1, 70)  

Segunda reta: reta do custo:  

c = 8000 + 30q  

Escolhendo 0 e 1 para q:  

c = 8000 + 30(0) = 8000  

c = 8000 + 30(1) = 8030  

Então a reta custo passara pelos pontos: (0, 8000) e (1, 8030)

Answer 2

a) As funções de receita (r), custo (c) e lucro total (l) ficaram da seguinte forma:

• r(x) = 70x: onde x é igual a quantidade de mesas vendidas. A receita é todo aquele valor que entra na empresa, como só informa que a venda de cada mesa é feita a 70 reais, a receita é a quantidade de cadeiras (x) multiplicado pelo valor de cada cadeira (70), por tanto, receita = 70x.
• c(x) = 8000 + 30x: onde x é a quantidade de cadeiras produzidas. O custo é um valor fixo de R$8000,00 acrescido de um custo variável a partir da quantidade de cadeiras produzidas (x).
• l(x) = 70x - (8000 + 30x) = 70x - 8000 - 30x = 40x - 8000: o lucro é a receita menos o valor gasto de produção.

b) O fabricante precisa vender 200 unidades para atingir o ponto de equilíbrio.

O ponto de equilíbrio significa que é o ponto no qual a empresa não está tendo lucro mas também não prejuízo, ou seja, a função lucro é 0. Pois se a função fosse maior que 0, a empresa teria lucro e se fosse menor que 0 teria prejuízo, o ponto de equilíbrio é quando a função l é igual 0. Por tanto, basta igualar a função l a 0.

$l = 40x - 8000 \\0 = 40x - 8000\\40x = 8000\\x = \frac{8000}{40} \\\\x = 200$

c) Se forem vendidas 300 mesas o fabricante terá lucro de R$ 4000,00.

Como encontramos o ponto de equilíbrio que é 200 cadeiras, qualquer quantia de cadeiras vendidas acima desse valor, ou seja, para qualquer x > 200, o fabricante obtém lucro. Para obter o valor exato de lucro, basta substituir o x por 300 na equação de lucro.

$l = 40x - 8000 \\l = 40 * 300 - 8000\\l = 12000 - 8000\\x = 4000$

d) O fabricante precisa vender 350 mesas para obter lucro de R$6000,00.

Para encontrar esse valor, basta igualar a função a 6000 e dessa forma encontrar o valor de x, da forma abaixo.

$6000 = 40x - 8000\\6000 + 8000 = 40x \\14000 = 40x \\x = \frac{14000}{40} \\x = 350$

e) Os gráficos da funções receita e custo serão duas retas, pois ambas funções são funções do 1º grau, dessa forma, o gráfico é representado por duas retas.

Para desenhar corretamente o gráfico, é necessário encontrar dois pontos para os gráficos e traçar a reta sobre eles.

Recomenda-se que esses pontos sejam nos momentos em que os gráficos cortes os eixos x e y, respectivamente. Dessa forma, para encontrar esses pontos, primeiros substituimos x por 0 em ambas funções:

$r(x) = 70x \\r(0) = 70 * 0 \\r = 0$                           $c(x) = 8000 + 30x \\c(0) = 8000 + 30 * 0\\c(0) = 8000$                

Para encontrar o ponto aonde cortam o eixo y, igual ambas funções a 0.

$r(x) = 70x \\0 = 70x \\x = 0$                              $c(x) = 8000 + 30x \\0 = 8000 + 30x\\-30x = 8000\\30x = -8000\\x= -266$  

Na imagem abaixo a reta azul representa a função r(x) e o gráfico verde a função c(x).

Para mais exercícios sobre funções do primeiro grau acesse

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