Question

Uma estrada possui um trecho retilíneo de 2000 m, que segue paralelo aos trilhos de uma ferrovia também retilínea naquele trecho. No início do trecho um motorista espera que na outra extremidadeda ferrovia, vindo ao seu encontro, apareça um trem de 480 m de comprimento e com velocidade constante e igual, em módulo, a 79,2 km/h para então acelerar o seu veículo com aceleração constantede 2 m/s².
A partir do enunciado acima, responda as próximas duas questões:
O final do cruzamento dos dois ocorrerá em um tempo de aproximadamente:

20 s
35 s
62 s
28 s
40 s
Qual a posição do veículo após o cruzamento com o trem: *
10 pontos
2000 m
2480 m
1600 m
1000 m
480 m

Answer 1

Perceba que na situação descrita, temos dois tipos de movimento, enquanto o trem descreve um movimento retilíneo uniforme (MRU), o carro entrará em um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Como estão percorrendo em sentidos contrários (ver desenho anexado), vamos convencionar que velocidades e acelerações apontadas para direita tem sinal positivo e, apontadas para esquerda, negativo.

Assim, a velocidade e aceleração do carro serão positivas, enquanto que a velocidade do trem será negativa.

Ainda, note que a velocidade do trem não está no S.I como os outros dados fornecidos, vamos efetuar a conversão:

$\overbrace{\boxed{km/h~~\Rightarrow~\div3,6~\Rightarrow~~m/s}}^{Conversao~km/h\rightarrow m/s}$

$79,2~km/h~~\Rightarrow~\dfrac{79,2}{3,6}~=~\boxed{22~m/s}$

É pedido o instante do final do cruzamento, este instante acontece quando o carro tiver passado pela totalidade do trem, ou seja, utilizando o desenho, o carro deverá passar pelo ponto marcado em roxo no trem, localizado na posição 2480 metros.

Para achar esse instante, vamos igualar as funções horárias da posição do carro e do trem, lembrando que o carro está em MRUV e o trem, em MRU.

As funções horárias da posição no MRU e no MRUV são dadas por:

$\boxed{S~=~S_o~+~v\cdot t}~~~~\boxed{S~=~S_o~+~v_o\cdot t~+~\dfrac{a\cdot t^2}{2}}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}S&:&Posica~no~instante~"t"\\S_o&:&Posica~inicial\\v&:&Velocidade\\v_o&:&Velocidade~inicial\\a&:&Aceleracao\\t&:&Tempo\end{array}\right$

Vamos então começar extraindo os dados do texto, lembrando de considerar os sinais previamente discutidos:

$Trem:~~~\left\{\begin{array}{ccl}S_o1&=&2480~m\\v&=&-22~m/s\end{array}\right\\\\\\Carro:~~\left\{\begin{array}{ccl}S_o&=&0~m\\v_o&=&0~m/s\\a&=&2~m/s^2\end{array}\right$

Substituindo nas funções:

$\boxed{S_{trem}~=~2480~-~22t}\\\\\\S_{carro}~=~0~+~0\cdot t~+~\dfrac{2\cdot t^2}{2}\\\\\boxed{S_{carro}~=~t^2}$

Agora, igualando as duas funções horárias:

$S_{trem}~=~S_{carro}\\\\\\2480~-~22t~=~t^2\\\\\\\boxed{t^2~+~22t~-~2480~=~0}$

As raízes da equação quadrática acima (vou omitir os cálculos) são 40 e -62. Não faz sentido nessa situação termos um instante negativo, assim devemos descartar a raiz -62.

Com isso, temos que o final do cruzamento se dá no instante t = 40 segundos.

$\boxed{t~=~40~s}$

Por fim, é pedida a posição do carro no instante em que se dá o final do cruzamento e, para isso, basta substituirmos o instante determinado no item anterior na função horária da posição do carro:

$S_{carro}~=~t^2\\\\\\S_{carro}(40s)~=~40^2\\\\\\\boxed{S_{carro}(40s)~=~1600~m}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$