Question

Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30m 3 / min formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e da altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha, quando sua altura é de 10m?

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{dv}{dt}=30~m^3/min\\\\\rm v=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h\\\\\rm v=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot\bigg(\dfrac{h}{2}\bigg)^2\cdot h\\\\\rm v=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot\dfrac{h^3}{8}\\\\\rm v=\dfrac{1}{24}\cdot \pi\cdot h^3\\\\\rm\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!24_8}\pi\cdot\diagup\!\!\!3h^2\cdot\dfrac{dh}{dt}\\\\\rm 30=\dfrac{1}{8}\cdot\pi\cdot 10^2\cdot\dfrac{dh}{dt}\\\\\rm\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{24\backslash\!\!\!0}{10\backslash\!\!\!0\pi}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12}{5\pi}~m/min\end{array}}$