Question

Uma estante tem 10 livros, sendo 5 de Álgebra, 3 de geometria e 2 de trigonometria. De quantas maneiras podemos arrumar esses livros na estante se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?

Answer 1

Olá.

Temos uma questão onde temos que aplicar conceitos de fatorial e permutação.

Recebe o nome de fatorial uma sequência recursiva onde um número inteiro é multiplicado por todos seus antecessores até chegar em 1. Os fatoriais são característicos por terem um sinal de exclamação ( ! ) após o número.

Ex₁.: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Ex₂.: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

O fatorial é usado para representar sequências que "andam juntas". No caso do enunciado, temos que os livros tem que andar juntos.
5 livros de álgebra;
3 livros de geometria;
2 livros de trigonometria.

Para representar as organizações possíveis em linha, usando do que foi falado acima, teremos:
5! × 3! × 2!

Mas tem outras coisa que deve ser considerada: os livros podem permutarem entre si, o que significa que existe 3 possibilidades de movimentação, que pode ser representado por 3!. Com isso, podemos concluir:
3! × (5! × 3! × 2!)

Resolvendo, teremos:
3 × 2 × 1 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1) = 
6 × (20 × 6 × 3 × 2 × 2) = 
6 × (120 × 6 × 2) = 
6 × (720 × 2) = 
6 × (1.440) = 
8.640

Existem 8.640 maneiras de organizações desses livros, de forma que os livros do mesmo assunto permaneçam juntos.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos$.$

Answer 2

Resposta:

8640 <-- modos diferentes

Explicação passo-a-passo:

.

Questão - a) De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os  livros de um mesmo assunto permaneçam juntos

Vamos dividir o raciocínio por partes:

=> Queremos que os livros do mesmo assunto apareçam juntos ..basta considerar cada tema como um único "grupo"

..donde resultam as possibilidades = 3!

=> Mas dentro de cada "grupo" os livros podem permutar entre si, donde resulta:

..para Algebra = 5!

..para Geometria = 3!

..para Trigonometria = 2!

Assim o número (N) de modos diferentes de arrumar esses livros será dado por:

N = 3!.5!.3!.2!

N = 6 . 120 . 6 . 2

N = 8640 <-- modos diferentes

Espero ter ajudado