Question

Uma esponja de lavar em forma de um disco chato e fino tem um diâmetro externo de 10 cm e um buraco no centro com um diâmetro de 4,0 cm. Ela possui uma distribuição de carga uniforme e uma carga total de 7,0 nC. Qual é o campo elétrico sobre o eixo da esponja a uma distância de 30 cm do centro da esponja?

Answer 1

O campo elétrico a 30 centímetros do centro da esponja possuí módulo no valor de 667,35 N/C.

A questão nos forneceu os seguintes dados:

• Diâmetro interno da esponja = D₁ = 4cm = 0,04m;
• Raio interno da esponja = R₁ = D₁/2 = 0,04/2 = 0,02m;
• Diâmetro externo da esponja = D₂ = 10cm = 0,1m;
• Raio externo da esponja = R₂ = D₂/2 = 0,1/2 = 0,05m;
• Distância do centro do disco até o ponto = d = 30cm = 0,3m;
• Carga da esponja = Q = 7nC.

O primeiro passo será calcular a densidade superficial de cargas nessa esponja. Para tal, aplicaremos a seguinte integral de superfície:

$Q = \int\limits_S {\sigma} \, dS = \int\limits^{2\pi}_0 \int\limits^{R_2}_{R_1} {\sigma r} \, dr d\theta \\Q = \sigma *(2\pi - 0)*\frac{R_2^2 - R_1^2}{2} = \sigma \pi (R_2^2 - R_1^2)\\\\\sigma = \frac{Q}{\pi (R_2^2 - R_1^2)}$

Substituindo os valores fornecidos:

$\sigma = \frac{Q}{\pi (R_2^2 - R_1^2)} = \frac{7*10^{-9}}{3,1415*(0,05^2 - 0,02^2)} = \frac{7*10^{-9}}{0,00659715} = 1,061*10^{-6} C/m^2$

Agora vamos deduzir a fórmula do campo elétrico {a uma distância d do centro desse disco. A componente infinitesimal da área do disco será:

$dA = 2\pi rdr$

Sendo assim, a componente infinitesimal da carga nesse disco é:

$dq = \sigma dA = 2\sigma \pi rdr$

Portanto, o campo elétrico será calculado por:

$E = \int\limits_S \, dE = \int\limits_S {\frac{ddq}{4\pi \epsilon _0(\sqrt{(d^2 + r^2)^3} )} } = \int\limits_S {\frac{d*(2\sigma \pi r)}{4\pi \epsilon _0(\sqrt{(d^2 + r^2)^3} )} } \, dr \\\\E = \frac{d\sigma \pi}{4\pi \epsilon _0} \int\limits^{R_2}_{R_1} {\frac{2r}{\sqrt{(d^2 + r^2)^3} } } \, dr = \frac{\sigma d}{4\epsilon _0} [-\frac{2}{\sqrt{d^2 + r^2} } ]^{R_2}_{R_1}\\\\E = \frac{\sigma d}{4\epsilon _0} [\frac{2}{\sqrt{d^2 + R_1^2} } - \frac{2}{\sqrt{d^2 + R_2^2} } ]$

Lembrando que ε₀ é a permissividade elétrica no vácuo, e vale 8,854*10⁻¹² C²N⁻¹m⁻².

Vamos então substituir todos os valores que possuímos e encontrar o módulo do campo elétrico a 30cm do centro da esponja:

$E = \frac{\sigma d}{4\epsilon _0} [\frac{2}{\sqrt{d^2 + R_1^2} } - \frac{2}{\sqrt{d^2 + R_2^2} } ] = \frac{1,061*10^{-6}*0,3}{4*8,854*10^{-12}} [\frac{2}{\sqrt{0,3^2 + 0,02^2} } - \frac{2}{\sqrt{0,3^2 + 0,05^2} } ]\\\\E = \frac{0,3181*10^{-6}}{35,416*10^{-12}} [\frac{2}{0,3007} - \frac{2}{0,3041} ] = 8981,8161*[6,6511 - 6,5768] = \textbf{667,35 N/C}$

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