uma esfera metálica maciça é aquecido de 30
°C para 110 °C , e seu volume sofre um aumento correspondente a 1,2%. Qual é o valor do coeficiente de dilatação linear médio desse metal ?
Soluções para a tarefa
Existem duas maneiras de resolver esse exercício.
Primeira maneira:
Vamos começar pela maneira mais simples. A variação de volume devido à variação de temperatura é dada por:
ΔV = V0*γ*ΔT
Onde, ΔV é a variação de volume, V0 é o volume inicial, γ é o coeficiente de dilatação volumétrica e ΔT é a variação de temperatura.
Temos a variação de temperatura, o volume inicial V0 e a variação de volume em função de V0. Portanto, podemos determinar o valor do coeficiente de dilatação volumétrica.
Note que, se o volume inicial da esfera é V0, havendo um aumento de 1,2% em seu volume, podemos afirmar que o volume final da esfera será 1,012*V0.
Temos:
ΔV = V0*γ*ΔT
1,012V0 - V0 = V0*γ*(110 - 30)
0,012V0 = V0*γ*80
0,012 = 80γ
γ = 0,012/80
γ = 0,00015 °C^-1
γ = 1,5*10^-4 °C^-1
O coeficiente de dilatação linear α será o coeficiente de dilatação volumétrica γ dividido por 3:
α = γ/3
α = (1,5*10^-4)/3
α = 0,5*10^-4
α = 5*10^-5 °C^-1
Logo, concluímos que o coeficiente de dilatação linear vale 5*10^-5 °C^-1.
Segunda maneira:
Como o exercício está perguntando qual é o valor do coeficiente de dilatação linear da esfera, podemos considerar a variação linear dela, ou seja, qual foi a variação de seu diâmetro.
Seja V0 o volume inicial. Segundo o enunciado, o volume da esfera sofreu um aumento correspondente a 1,2% após o aquecimento. Logo, como já vimos, o volume da esfera após o aquecimento é 1,012*V0.
O volume de uma esfera é dado por V = πd³/6, onde d é o diâmetro da esfera.
Agora, seja di o diâmetro inicial da esfera e df o diâmetro da esfera após a dilatação.
Para o volume inicial da esfera, temos:
V0 = π(di)³/6
(di)³ = 6V0/π
di = ∛(6V0/π)
Após o aquecimento, temos:
1,012*V0 = π(df)³/6
(df)³ = 6*1,012*V0/π
df = ∛(6,072*V0/π)
Logo, vemos que o diâmetro inicial da esfera vale ∛(6V0/π) e que o diâmetro após aquecimento vale ∛(6,072*V0/π).
Agora, vamos calcular o coeficiente pedido. Sabemos que a variação de comprimento devido a aquecimento ou resfriamento é dada por:
ΔL = L0*α*ΔT
Onde ΔL será a variação de diâmetro, L0 será o diâmetro inicial da esfera, α é o coeficiente de dilatação linear e ΔT é a variação de temperatura.
Logo, temos:
ΔL = L0*α*ΔT
∛(6,072*V0/π) - ∛(6V0/π) = ∛(6,072*V0/π)*α*(110 - 30)
[∛(6,072*V0/π) - ∛(6V0/π)]/[∛(6,072*V0/π)] = 80α
∛(6,072*V0/π)/∛(6,072*V0/π) - ∛(6V0/π)/∛(6,072*V0/π) = 80α
1 - ∛(6V0/π)/∛(6,072*V0/π) = 80α
1 - ∛(6/6,072) = 80α
1 - ∛0,988 = 80α
1 - 0,996 = 80α
0,004 = 80α
α = 0,004/80
α = 5*10^-5 °C^-1
Como esperado, o coeficiente de dilatação linear vale 5*10^-5 °C^-1.
Espero ter ajudado.