Question

Uma esfera está inscrita em um cubo de 6 cm de aresta. Determine a razão entre.
A) o volume da esfera e o volume do cubo
B) a área da superfície da a esfera e a área total do cubo

Answer 1

1) O raio da esfera vale a metade da aresta do cubo, logo, r = 3 cm

2) O volume da esfera é (4."pi".r³)/3  --> (4.pi.3³)/3 = 36pi cm³

3) Área da superfície da esfera: 4"pi"r²  --> 4.pi.3² = 36pi cm²

4) Volume do cubo = a³ --> 6³ = 216 cm³

5) Área total do cubo: 6a²  --> 6.6² = 216 cm²

6) A razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é igual a  pi / 6

7) A razão entre a superfície da esfera e a área total do cubo é igual a pi / 6 também.  

Answer 2

a. Como o raio do cubo é a aresta da esfera multiplicado pela raiz de três dividido por dois, podemos dizer que:

$r = \dfrac{a \sqrt{3} }{2} = \dfrac{6 \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3} cm$

Podemos calcular o volume da esfera agora.

$V_e = 4* \pi *r^2 = 4*3,14*(3 \sqrt{3})^2 = 4*3,14*27 = 339,12 cm^3$

O volume do cubo é a aresta elevado ao cubo.

$V_c = a^3 = 6^3 = 216 cm^3$

A razão pedida é:

$\dfrac{V_e}{V_c} = \dfrac{339,12cm^3}{216cm^3}= 1,57$

b. Como já temos o raio da esfera, podemos substituir na fórmula da área total da esfera.

$A_e = \dfrac{4* \pi *r^3}{3} = \dfrac{4*3,14*(3 \sqrt{3})^3 }{3} = \dfrac{4*3,14*(3 \sqrt{3})^3 }{3} \\ \\ A_e = \dfrac{4*3,14*(3 \sqrt{3})^3 }{3} = \dfrac{12,56*(3 \sqrt{3})^3 }{3} cm^2$

Agora, calculamos a área total do cubo.

$A_c = 6*a^2 = 6*(6^2) = 126cm^2$

A razão pedida é:

$\dfrac{A_e}{A_c} = \dfrac{\dfrac{12,56*(3 \sqrt{3})^3 }{3} cm^2}{216cm^2}= \dfrac{12,56*(3 \sqrt{3})^3}{3*216} = \dfrac{12,56*(3 \sqrt{3})^3}{648} \\ \\ \\ \dfrac{A_e}{A_c} = \dfrac{12,56*(3 \sqrt{3})^3}{648} = \dfrac{12,56*3^3 *(\sqrt{3})^3}{648} = \dfrac{12,56*27 **(\sqrt{3})^3}{648} \\ \\ \\ \dfrac{A_e}{A_c} = \dfrac{339,12*( \sqrt{3})^3 }{648} = \dfrac{471* \sqrt{27} }{900}$