Question

Uma esfera de um certo material A, de 1,0cm de raio, é colocada sobre um orifício de 0,99cm de raio, numa placa de material B. O conjunto está, inicialmente, a 0°C. Os coeficientes de dilatação dos materiais A e B são, respectivamente, 1,0.10-6 e 2,5.10-6. Em que temperatura a esfera cai através do orificio ?

Answer 1

Dados no material A (esfera)
L = 1cm
α = 10^-6
Ti = 0⁰C

Dados no material B (orifício)
L = 0,99cm
α = 2,5 x 10^-6
Ti = 0⁰C

A dilatação térmica dos materiais é dado por
$\Delta L=L_0\alpha \Delta T$

O problema é dividio em 3 momentos:
(1) Os corpos estão em temperatura ambiente e com as características iniciais dadas.
(2) Os corpos iniciam uma dilatação térmica, o que indica uma variação em seu comprimento inicial. Como a variação da temperatura é maior que zero, então seu comprimento sofre uma variação positiva.
(3) O corpo A passa pelo corpo B então o comprimento do corpo B é maior ou igual ao do corpo A.

Para que o corpo saia do estado (1) → (3) o sistema das dilatações acontecem ao mesmo tempo, só que o corpo A se expande de forma um pouco mais lenta que o B (ver valores de α) e isso deve ser considerado.

Corpo A do estado (1) → (3)
Do seu comprimento inicial é somado a variação da dilatação linear, então
$L=L_{a} + \Delta L$
$L=L_{a} + (L_a\alpha_a\Delta T)$


Corpo B do estado (1) → (3)
Do seu comprimento inicial é somado a variação da dilatação linear, então
$L=L_{b} + \Delta L$
$L=L_{b} + (L_b\alpha_b\Delta T)$

Como o comprimento final devem ser iguais então:
$L_{a} + (L_a\alpha_a\Delta T) = L_{b} + (L_b\alpha_b\Delta T)$
$L_{a} - L_{b} = (L_b\alpha_b\Delta T) - (L_a\alpha_a\Delta T)$

Substituindo os valores na equação
$1 - 0,99 = (0,99\times2,5\times10^{-6}\Delta T) - (1\times10^{-6}\Delta T)$
$10^{-2} = ( \frac{99}{40}\times10^{-6}\Delta T) - (10^{-6}\Delta T)$
$\Delta T = \frac{10^{-2}}{\frac{59}{40}\times10^{-6}}$
$\Delta T = \frac{4\times10^5}{59}$
$\boxed{\Delta T \approx 6779^oC}$