Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a esfera toca o chão tinha comprimento de 10 m, como indica a figura.
Soluções para a tarefa
O raio da esfera, em metros, é igual a 10√5 - 20.
Completando a questão:
Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma vareta reta de 1 m, fincada perpendicularmente ao chão, tinha 2 m de comprimento. Assumindo o paralelismo dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a:
a) 5√5 - 10
b) 10√5 - 20
c) 5√5 - 5
d) 5√5 - 2
e) 10√5 - 10
Solução
Observe a figura abaixo.
Traçando o segmento perpendicular AB, temos que os triângulos ABC e CDE são semelhantes.
Sendo assim, é correto dizer que:
AB/AC = DE/CD
AB/10 = 1/2
AB = 10/2
AB = 5 m.
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:
BC² = 5² + 10²
BC² = 25 + 100
BC² = 125
BC = 5√5 m.
Os triângulos BOF e ABC são semelhantes. Considerando que r é o raio da esfera, temos que:
(5 - r)/(5√5) = r/10
10(5 - r) = 5√5.r
50 - 10r = 5√5.r
5√5r + 10r = 50
5r(√5 + 2) = 50
r(√5 + 2) = 10
r = 10/(√5 + 2)
r = 10√5 - 20 m.
