Question

Uma esfera de plástico de raio 3,00 cm flutua na água doce com 42% de seu volume imerso e flutua em etanol com 52,1% de seu volume imerso. Quais as massas específicas da esfera e do etanol? Que massa mínima de chumbo (em gramas) teria que ser colocada em cima da esfera para que ela afundasse totalmente na água?

Answer 1

Serão necessárias 65,6 gramas de chumbo para que a esfera afunde totalmente.

Vamos primeiramente calcular o volume total dessa esfera:

V = 4πR³/3 = 4π*3³/3 = 4π*9 = 36π cm³

Agora vamos analisar cada uma das situações descritas:

Esfera na água doce:

A densidade da água doce é a mesma da água comum, ou seja, 1 g/cm³.

Para esse caso, na condição de equilíbrio hidrostático, vamos ter a relação válida:

$Empuxo = Peso\\E = P\\\\d_{agua}*V_{submerso}*g = d_{esfera}*V_{total}*g\\\\d_{esfera} = d_{agua}*V_{submerso}/V_{total} = d_{agua}*(0,42*V_{total})/V_{total} = 0,42d_{agua}\\\\d_{esfera} = 0,42*1 = 0,42 g/cm^3$

Aqui fiz a substituição direta do volume submerso, pois foi informado que o volume submerso, na água, equivale a 42% do volume total da esfera.

Esfera no etanol:

Semelhante ao caso anterior, vamos ter:

$Empuxo = Peso\\\\E = P\\\\d_{etanol}*V_{submerso}*g = d_{esfera}*V_{total}*g\\\\d_{etanol} = d_{esfera}*V_{total}/V_{submerso} = d_{esfera}*V_{total}/(0,521*V_{total})\\\\d_{etanol} = d_{esfera}/0,521 = 0,42/0,521 = 0,806 g/cm^3$

Esfera + Chumbo na água:

Importante notar aqui que o chumbo ficará na borda da água, acima da esfera. Ou seja, ele não afundará, logo na massa de chumbo teremos apenas o peso atuando (sem empuxo). Portanto:

$Empuxo = Peso_{esfera} + Peso_{chumbo}\\\\d_{agua}V_{total}g = d_{esfera}*V_{total}g + m_{chumbo}g\\\\m_{chumbo} = (d_{agua} - d_{esfera})*V_{total} = (1 - 0,42)*36\pi\\\\m_{chumbo} = 65,6 g$

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