Question

Uma esfera de dimensões desprezíveis e massa 1,0kg, é solta de um ponto a uma altura H em um plano inclinado liso (livre de atrito). Essa esfera desliza sobre esse plano por 8 metros, até que entra em uma curva circular de raio 1,0 metro e lisa. Sabendo que a esfera alcança o ponto mais alto da curva com uma velocidade v=2√10m/sv=210m/s e que a aceleração da gravidade no local é igual a 10m/s2, o ângulo de inclinação do plano inclinado é dado por:

Answer 1

Resposta:

Uma esfera de dimensões desprezíveis e massa 1,0kg, é solta de um ponto a uma altura H em um plano inclinado liso (livre de atrito). Essa esfera desliza sobre esse plano por 8 metros, até que entra em uma curva circular de raio 1,0 metro e lisa. Sabendo que a esfera alcança o ponto mais alto da curva com uma velocidade

v

=

2

√

10

m

/

s

e que a aceleração da gravidade no local é igual a 10m/s2, o ângulo de inclinação do plano inclinado é dado por:

Explicação:

A resposta correta é: 30°

Como não há atrito, e somente forças conservativas, podemos usar a conservação da energia mecânica, no ponto inicial e no ponto mais alto da curva. No ponto inicial, tem-se energia potencial gravitacional somente, e no ponto mais alto da curva, tem-se energia potencial gravitacional e energia cinética. Encontrando H, é possível encontrar o ângulo de inclinação, já que foi dado o comprimento do plano inclinado.

Answer 2

O plano inclinado sem atrito tem um ângulo de inclinação de 30° de acordo com a conservação de energia mecânica.

Conservação de Energia Mêcanica

• A energia mecânica é a capacidade de um corpo realizar trabalho;
• A energia mecânica (Emec) é definida como a soma da energia potencial (Epot) e da energia cinética (Ec): Emec = Epot + Ec
• A energia potencial gravitacional depende da altura do objeto com relação ao chão. Ela é calculada multiplicando a massa do objeto, pela altura pelo valor da aceleração da gravidade: Epot = m*g*h
• A energia cinética depende da velocidade do objeto. Ela é calculada multiplicando a massa do objeto pelo quadrado da velocidade e dividida por 2: Ec = (m*v²)/2
• Um sistema sem forças dissipativas terá sua energia mecânica conservada. A energia mêcanica do momento "a" é igual a energia mecânica do momento "x": Emecₐ = Emecₓ

Resolução passo a passo

Para descobrir a altura H da esfera no plano inclinado, vamos usar a conservação de energia mecânica no ponto inicial e no ponto mais alto da curva.

Primeiro iremos encontrar a energia mecânica no ponto inicial:

• A esfera está parada, logo tem velocidade igual a zero (v=0 m/s) e energia cinética igual a zero (Ec = 0)
• A esfera tem massa igual a 1kg (m=1kg), está a uma altura H (h = H) que queremos descobrir e a aceleração da gravidade vale 10m/s² (g = 10m/s²)

Emecₐ = Epot + Ec

Emecₐ =  m*g*h + 0

Emecₐ =  m*g*h

Emecₐ =  1*10*H

Emecₐ =  10*H

A energia mecânica no ponto inicial é 10H.

Vamos encontrar a energia mecânica no ponto mais alto da curva:

• A esfera tem velocidade igual a 2√10 (v=2√10 m/s);
• A esfera tem massa igual a 1kg (m=1kg), está a uma altura de duas vezes o raio da esfera (h = 2*1 = 2m) e a aceleração da gravidade vale 10m/s² (g = 10m/s²).

Emecₓ = Epot + Ec

Emecₐ = m*g*h + (m*v²)/2

Emecₐ = 1*10*2 + (1*(2√10)²)/2

Emecₐ = 10*2 + (2²*(√10)²)/2

Emecₐ = 20 + (4*10)/2

Emecₐ = 20 + (40)/2

Emecₐ = 20 + 20

Emecₐ = 40

A energia mecânica no ponto mais alto da curva  é 40.

Usando a conservação de energia mecânica, sabemos que a energia mecânica no ponto inicial irá ser igual a energia mecânica no ponto mais alto da curva: Emecₐ = Emecₓ

Emecₐ = Emecₓ

10H = 40

H = 40/10

H = 4m

A esfera é inicialmente solta de uma altura igual a 4 metros.

Para encontrar o ângulo  de inclinação da rampa, podemos considerar que ela forma um triângulo retângulo com a base horizontal.

• A hipotenusa do triângulo é a rampa que tem comprimento de 8 metros;
• O lado oposto ao ângulo de inclinação é a altura inicial da esfera, que é 4 metros.
• O seno de um angulo pode ser calculado dividindo o valor do lado oposto pela hipotenusa: sen α = lado oposto/hipotenusa.

Substituindo os valores que temos na relação do seno:

sen α = lado oposto/hipotenusa

sen α = 4/8

sen α = 2/4

sen α = 1/2

O valor do seno do ângulo de inclinação é 1/2. O ângulo cujo seno é 1/2 é 30°. Logo, o valor do ângulo de inclinação do plano inclinado é 30°.

Veja mais sobre plano inclinado em:

https://brainly.com.br/tarefa/1015107

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