Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. DETERMINE a distância do vértice da cavidade à esfera.
Soluções para a tarefa
Coloca o desenho para ficar mais fácil o cálculo.
Para começar faz um desenho do cone,com a esfera parcialmente dentro dele (na verdade basta fazeres um corte,o cone fica um triângulo e a esfera uma circunferência)
Seja V o vértice do cone,A o centro da base do cone e AB o raio da base.
AB=5 , AV=12
O ângulo B do triângulo rectângulo ABV terá tangente :
tg B=cateto oposto/cateto adjacente
tg B=AV/AB=12/5
tg B=2.4
Sendo C o centro da esfera e T o ponto de tangência com o cone sobre a geratriz BV,o triângulo rectângulo CTV terá um ângulo C exactamente igual ao ângulo B (repara que C é um ângulo externo do quadrilátero ABTC,que tem dois ângulos rectos,e a soma dos seus ângulos é 360º)
cos C=cateto adjacente/hipotenusa
cos C=CT/CV
Mas CT é o raio da esfera,e CV é o raio da esfera + a distância de V à esfera,que é a pergunta,e a essa distância vou chamar x.
CT=4 , CV=4+x
cos C=4/(4+x)
Mas tg C=tg B=2.4
e usando a fórmula que relaciona tangente com cosseno :
1+tg² C=1/cos² C
1+(2.4)²=1/(16/(x+4)²)
6.76=(x+4)²/16
(x+4)²=16(6.76)
x+4=√108.16
x=10.4-4
x=6.4