Matemática, perguntado por CesarSilvva225, 1 ano atrás

Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. DETERMINE a distância do vértice da cavidade à esfera.

Soluções para a tarefa

Respondido por claudiaprevi
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Coloca o desenho para ficar mais fácil o cálculo.

Para começar faz um desenho do cone,com a esfera parcialmente dentro dele (na verdade basta fazeres um corte,o cone fica um triângulo e a esfera uma circunferência)  

Seja V o vértice do cone,A o centro da base do cone e AB o raio da base.  

AB=5 , AV=12  

O ângulo B do triângulo rectângulo ABV terá tangente :  

tg B=cateto oposto/cateto adjacente  

tg B=AV/AB=12/5  

tg B=2.4  

Sendo C o centro da esfera e T o ponto de tangência com o cone sobre a geratriz BV,o triângulo rectângulo CTV terá um ângulo C exactamente igual ao ângulo B (repara que C é um ângulo externo do quadrilátero ABTC,que tem dois ângulos rectos,e a soma dos seus ângulos é 360º)  

cos C=cateto adjacente/hipotenusa  

cos C=CT/CV  

Mas CT é o raio da esfera,e CV é o raio da esfera + a distância de V à esfera,que é a pergunta,e a essa distância vou chamar x.  

CT=4 , CV=4+x  

cos C=4/(4+x)  

Mas tg C=tg B=2.4  

e usando a fórmula que relaciona tangente com cosseno :  

1+tg² C=1/cos² C  

1+(2.4)²=1/(16/(x+4)²)  

6.76=(x+4)²/16  

(x+4)²=16(6.76)  

x+4=√108.16  

x=10.4-4  

x=6.4

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