Question

Uma esfera, cujo raio mede 5 cm, é interceptada por um plano. Determine a área da seção, no caso em que a distância do plano ao centro da esfera é
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
Analise o que ocorre com a área da seção, na medida em que aumenta a distancia do plano ao centro da esfera.​

Answer 1

Resposta:

Um plano interceptando uma esfera irá gerar um círculo. A área de um círculo é A = πr².

O que falta saber é o raio do círculo. Supondo que o plano está a uma distância d do centro da esfera (veja figura, onde o círculo representa a esfera), aplicamos Pitágoras para determinar o raio do círculo em função de d:

5² = d² + r²

r² = 25 - d²

Vou deixar com r² pois na fórmula da área do círculo, aparece r². Então, substituimos r² por 25 - d² na fórmula:

A = π.(25-d²)

Agora, basta substituir d por 1, 2, 3 e 4:

- se a distância é de 1 cm, a áre é de A = π.(25-1) = 24π cm²

- se a distância é de 2 cm, a áre é de A = π.(25-4) = 21π cm²

- se a distância é de 3 cm, a áre é de A = π.(25-9) = 16π cm²

- se a distância é de 4 cm, a áre é de A = π.(25-16) = 9π cm²