Question

Uma esfera A, de massa 5,0kg, inicialmente em repouso no ponto A, é deslocada de sua posição de equilíbrio e movimenta-se sobre uma calha no formato indicado na figura. Desprezando o atrito, determine:

A) A energia mecânica da esfera nos pontos A, B e C;


B) A velocidade com que a esfera passa pelo ponto C

Answer 1

Não havendo perdas de energia decorrentes de atrito e outras forças conservativas, podemos aplicar a conservação de energia mecânica.

Assim, podemos afirmar que a energia mecânica se mantém constante para todo ponto no percurso da esfera e, portanto, temos:

$\boxed{E_{m,A}~=~E_{m,B}~=~E_{m,C}}$

A energia mecânica é dada pela soma entre energia cinética e energia potencial sendo que, na situação descrita, teremos energia potencial gravitacional.

$\boxed{E_{mec}~=~E_{c}~+~E_{g}}$

As energias cinética e potencial gravitacional são dadas por:

$\begin{array}{l}E_c~=~\dfrac{m\cdot v^2}{2}\\\\E_g~=~m\cdot g\cdot h\end{array}~~Onde:~\left\{\begin{array}{ccl}m&:&Massa\\v&:&Velocidade\\g&:&Aceleracao~da~gravidade~local\\h&:&Altura~em~relacao~ao~solo/referencia\end{array}\right$

Vamos então calcular a energia mecânica em A:

$E_{mec,A}~=~\dfrac{m\cdot v_A^{\,2}}{2}~+~m\cdot g\cdot h_A\\\\\\E_{mec,A}~=~\dfrac{5\cdot 0^{2}}{2}~+~5\cdot 10\cdot 10\\\\\\E_{mec,A}~=~0~+~500\\\\\\\boxed{E_{mec,A}~=~500~J}$

Dessa forma, respondendo ao item (a), a energia mecânica em A, B e C, que se mantém constante, vale 500 Joules.

Sabendo a energia mecânica em C, podemos determinar sua velocidade:

$E_{m,C}~=~\dfrac{m\cdot v_{C}^{\,2}}{2}~+~m\cdot g\cdot h_{C}\\\\\\500~=~\dfrac{5\cdot v_{C}^{\,2}}{2}~+~5\cdot 10\cdot 5\\\\\\500~=~\dfrac{5\cdot v_{C}^{\,2}}{2}~+~250\\\\\\\dfrac{5\cdot v_{C}^{\,2}}{2}~=~500-250\\\\\\v_C^{\,2}~=~250\cdot \dfrac{2}{5}\\\\\\v_C^{\,2}~=~100\\\\\\v_C~=~\sqrt{100}\\\\\\\boxed{v_C~=~10~m/s}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$