Question

Uma escola pretende ampliar as atividades esportivas realizadas por seus alunos e, para isso, realizou uma pesquisa com 50 alunos selecionados aleatoriamente, dos quais 20 manifestaram ter interesse em praticar atividades esportivas após o horário das aulas. Qual o limite inferior e qual o limite superior do intervalo de confiança de 95% da proporção de alunos que pretende participar das atividades esportivas?

Answer 1

Olá.

Dados:

$n = 50\\ \hat{p} = \frac{20}{50} = 0,4\\ \gamma = 95\%$

   Veja que a probabilidade real é desconhecida. Assim, podemos adotar um intervalo otimista ou conservador. Farei os dois e deixo a seu critério escolher um. Note que o IC conservador é mais abrangente e, por isso, pode ser mais acurado.

   Fazemos a mudança de variável:

$Z = \dfrac{p - \hat p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\overset{a}\sim N(0,1)$

   Calculamos $Z_{\gamma/2}$ com o auxílio da tabela da Normal Padrão:

$P(0\leq Z\leq Z_{\gamma/2}) = \frac{0,95}{2}=0,475 \\ \\ Z_{\gamma/2} = 1,96$

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Intervalo Otimista: Fazemos $p=\hat p$

Isolando o p do numerador na mudança de variável e substituindo pela proporção amostral, vem:

$IC(p,\gamma) = \left[\hat p-Z_{\gamma/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}~~; \hat p+Z_{\gamma/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}\right]\\ \\ \\ IC(p,95\%) = \left[0,4-1,96\sqrt{\dfrac{0,4(1-0,4)}{50}}~~ ; 0,4+1,96\sqrt{\dfrac{0,4(1-0,4)}{50}}\right]\\ \\\\ \bullet IC(p,95\%) = [0,2642;~~ 0,5358]$

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Intervalo conservador: Munidos do fato que p(1-p) ≤ 1/4 , fazemos p(1-p) = 1/4 para conseguir o intervalo mais amplo e com menos chance de erro.

$IC(p,\gamma) = \left[\hat p-Z_{\gamma/2}\sqrt{\dfrac{1}{4n}}~~; \hat p+Z_{\gamma/2}\sqrt{\dfrac{1}{4n}\right]\\ \\ \\ IC(p,\gamma) = \left[0,4 - 1,96\sqrt{\dfrac{1}{4(50)}}~~ ;0,4 + 1,96\sqrt{\dfrac{1}{4(50)}} \right]\\ \\ \\ \bullet IC(p,\gamma) = [0,2614~~ ;0,5386]$

Então esses são nossos intervalos de confiança.

Dúvida sobre notação ou resolução? Comente =)