Question

Uma escola doou 600 livros de sua biblioteca para que fossem distribuidos igualmente entre certo numero de alunos.No dia da distribuiçao, faltaram 5 dos alunos convocados. Entao, cada aluno que compareceu recebeu 20 livros a mais. Determine o número inicial de alunos.

Answer 1

Vamos fazer assim, chamaremos o número de alunos de "x". O valor que cada um receberia primeiramente, chamaremos de "y":

600 | x   
        y

Portando: 

$\boxed{x \cdot y = 600}$

Na segunda situação, faltarem 5 alunos (x-5), e assim cada um recebeu 20 livros a mais (y+20).

600 |  x-5   
         y+20

$(x-5) \cdot (y+20) = 600 \\\\ xy+20x-5y-100 = 600 \\\\ \boxed{xy = 600} \\\\ 600+20x-5y-100 = 600 \\\\ 20x-5y = 100 \ \ \div 5 \\\\ 4x-y = 20 \\\\ \underline{y = 4x-20}$

Substituindo na nossa outra equação:

$x \cdot y = 600 \\\\ x \cdot (4x-20) = 600 \\\\ 4x^{2}-20x-600 = 0 \ \ \div 4 \\\\ x^{2}-5x-150 = 0$

Resolveremos por Bhaskara:

$x^{2}-5x-150 = 0 \\\\ \Delta = b^{2}-4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-5)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (-150) \\\\ \Delta = 25+600 \\\\ \Delta = 625 \\\\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{5 \pm 25}{2} \\\\\\ \rightarrow x' = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = \boxed{15} \\\\ \rightarrow x'' = \frac{5 - 25}{2} = -\frac{20}{2} = \boxed{-10}$

Como não é possível ter número de alunos negativos, o número inicial para receber os livros era 15.