Question

Uma escada, de comprimento 2 m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em determinado instante, sua base dista 0,6m da parede, e se afasta da mesma à razão de 0,3 m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão.

Answer 1

A base da escada está se afastando da parede, com isso o topo da escada se movimenta ficando cada vez mais baixo. (Anexo I)

A base dessa escada se desloca com uma velocidade constante e vale 0,3m/s. 

Quão rápido o topo dessa escada está se aproximando do solo, ou seja, quão rápido y varia em relação ao tempo?

Vejamos o triângulo no anexo II e calculamos o valor de y.

Pelo Teorema de Pitágoras

$y^2+(0,6)^2=2^2\\y^2+0,36=4\\y^2=3,64\\y= \sqrt{3,64}$

Vejamos o triângulo do anexo III e relacionamos pelo Teorema de Pitágoras.

$x^2+y^2=4$

Derivada implícita

 $2x\cdot{\dfrac{dx}{dt}}+2y\cdot{{\dfrac{dy}{dt}}}=0$

$x=0,6m\\\\y= \sqrt{3,64}\,m\\\\ \dfrac{dx}{dt}=0,3\,m/s$

$2\cdot(0,6)\cdot(0,3)+2\cdot \sqrt{3,64}\cdot \dfrac{dy}{dt}=0\\\\\\0,36+2\cdot \sqrt{3,64}\cdot \dfrac{dy}{dt}=0\\\\\\ \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{0,36}{2\cdot \sqrt{3,64} }\\\\\\\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{0,36}{3,82} \\\\\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dt}=-0,094\,\,m/s}$