Question

uma escada com 5m de comprimento esta apoiada em uma parede vertical. se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rapido o topo de escada esta escorrendo para baixo na parede quando a base da escada esta a 3m da parede?

Answer 1

Sejam x  metros a distância da base da escada à parede, e y metros a distância do topo da escada ao solo. Observe que x e y são ambas funções de t ( tempo medido em segundos).

Foi nos dado que $\dfrac{dx}{dt}=1m/s$ ,e nos foi pedido para encontrar $\dfrac{dy}{dt}$ quando x=3m. Neste problema, a relação entre x e y é dada pelo teorema de Pitágoras:

$\huge\mathsf{{x}^{2}+{y}^{2}=25}$

Derivando cada lado em relação a t usando a Regra da cadeia, temos

$\mathsf{2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0}$ isolando a taxa desejada obtemos

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}.\dfrac{dx}{dt}}}}$

Quando x=3, o Teorema de Pitágoras fornece y=4 e, portanto, substituindo esses valores e $\dfrac{dx}{dt}=1$, temos

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{3}{4}.1=-\dfrac{3}{4}m/s}}}$

o fato de $\frac{dy}{dt}$ ser negativo indica que a distância do topo da escada ao solo está decrescendo  a uma taxa de $\frac{3}{4}m/s$. Em outras palavras, o topo da escada está deslizando para baixo a uma taxa de $\frac{3}{4}m/s$