Question

Uma equipe de engenharia realiza um trabalho de levantamento topográfico e necessita conhecer a área de determinado terreno de quatro lados iguais e cujas extremidades opostas são os pontos de interseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x². Você, engenheiro de produção, é designado para esta tarefa.
Determine a área (km²) do terreno.

Preciso da reposta não tão simplificada!

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular o(s) ponto(s) de interseção entre a reta y = x + 1 e a parábola y = x².

Para isso, basta igualar as duas funções:

x² = x + 1

x² - x - 1 = 0

Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(-1)

Δ = 1 + 4

Δ = 5

$x = \frac{1+-\sqrt{5}}{2}$

$x'=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$x''=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Assim, temos os pontos:

$(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ e $(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.

Agora, precisamos calcular a distância entre os dois pontos acima:

$d=\sqrt{(\frac{1-\sqrt{5}-1-\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{3-\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{2})^2}$

d = √10 km.

Perceba que "d" é a diagonal do quadrado. Vamos chama de "a" a medida do lado do terreno.

Então:

√10 = a√2

10 = 2a²

a² = 5 km² → essa é a área do terreno.