Question

Uma equipe de engenharia realiza um trabalho de levantamento topográfico e necessita conhecer a área de determinado terreno de quatro lados iguais e cujas extremidades opostas são os pontos de interseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x². Você, engenheiro de produção, é designado para esta tarefa.
Determine a área (km²) do terreno.

Answer 1

Uma vez que queremos a interseção de duas curvas, vamos igualar suas equações para determinar os valores de x onde isso ocorre.

x + 1 = x²

x² - x - 1 = 0

Com essa equação, podemos encontrar duas raízes:

x' = (1 + √5) ÷ 2

x" = (1 - √5) ÷ 2

Agora, vamos substituir esses pontos em qualquer uma das equações, para determinar o valor de y de cada ponto.

y' = [(1 + √5) ÷ 2]²

y' = (3 + √5) ÷ 2

y" = [(1 - √5) ÷ 2]²

y" = (3 - √5) ÷ 2

Com esses pontos, podemos calcular a distância entre eles, que será a diagonal do terreno quadrangular.

D = √[(1 + √5) ÷ 2 - (1 - √5) ÷ 2]² + [(3 + √5) ÷ 2 - (3 - √5) ÷ 2]²

D = √(√5)² + (√5)²

D = √10

Com a medida da diagonal, podemos determinar a medida dos lados do terreno:

2a² = D²

2a² = (√10)²

a = √5

Por fim, podemos determinar a área:

A = a²

A = 5 km²

Portanto, a área do terreno é 5 km².