Uma equipe de engenharia, na qual você trabalha, necessita conhecer a área de um determinado terreno de quatro lados iguais com quatro ângulos iguais, no qual duas extremidades opostas são os pontos de intersecção da circunferência
(x - 1)² + y² = 4 com a reta y = x + 1.
Determine a área (km²) do terreno. Apresente todos os seus cálculos e considerações.
Soluções para a tarefa
A área do terreno é de 8 km²
Os pontos de intersecção da circunferência e a reta são calculados resolvendo s o sistema de equações formado pela equação geral da reta e pela equação reduzida da circunferência.
equação geral da reta
y - x - 1 = 0
y = x + 1 (I)
equação reduzida da circunferência
(x - 1)² + y² = 4 (II)
Substituímos (I) em (II), temos:
(x - 1)² + (1 + x)² = 4
(x² - 2x + 1) + (1 + 2x + x²) = 4
x² + x² - 2x + 2x + 1 + 1 = 4
2x² + 2 = 4
2x² = 4 - 2
2x² = 2
x² = 2/2
x² = 1
x = ± √1
x = ± 1
Para x = 1,
y = 1 + x
y = 1 + 1
y = 2
Para x = - 1,
y = 1 - 1
y = 0
Então, os pontos de intersecção são: (1, 2) e (- 1, 0).
Como esses pontos estão nas duas extremidades opostas, basta calcularmos a distância entre esses pontos para obtermos a medida da diagonal do quadrado.
d = √(- 1 - 1)² + (0 - 2)²
d = √(- 2)² + (-2)²
d = √4 + 4
d = √8
A medida da diagonal do quadrado é dada por:
d = a√2
√8 = a√2
a = √8
√2
a = 2√2.√2
√2.√2
a = 2√4
√4
a = 2
Assim, a área do quadrado é:
A = a²
A = 2²
A = 4 km²