Question

Uma equipe da Oi, composta apenas por coordenadores, analistas e estagiários, dividiu um prêmio 2. 000,00 dólares e 6. 000,00 euros entre os colaboradores do time. Cada coordenador recebeu 50,00 dólares e 100,00 euros. Cada analista recebeu 30,00 dólares e 80,00 euros. Cada estagiário recebeu 10,00 dólares e 60,00 euros. Quantos colaboradores havia nesse time?

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Temos neste time 80 colaboradores. ✅

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Modelando o problema                              ✍

⠀⠀⠀➡️⠀Neste exercício temos um sistema de 3 equações e 2 incógnitas. Seja portanto:

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• x = coordenadores;

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• y = analistas;

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• z = estagiários

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos:

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I)⠀50x + 30y + 10z = 2.000

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II)⠀100x + 80y + 60z = 6.000

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⠀⠀⠀➡️⠀Simplificando ambas:

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I)⠀5x + 3y + z = 200

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II)⠀5x + 4y + 3z = 300

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Investigando a soma pedida                              ✍

⠀⠀⠀➡️⠀Se adicionarmos uma terceira equação ao sistema, da forma x + y + z = ? Teremos uma matriz de coeficientes de determinante nula, ou seja, um sistema LD (nenhuma solução ou infinitas soluções). Para verificar basta multiplicar a terceira equação por 5, somar à primeira equação e dividir tudo isto por 2: isso resultará na segunda equação. Sendo assim, seja:

III) x + y + z = C

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⠀⠀⠀➡️⠀Pela constatação acima teremos que:

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(5 * III + II) / 2 = I

(5 * (x + y + z) + 5x + 3y + z) / 2 = 5x + 4y + 3z

(5 * C + 200) / 2 = 300

5C + 200 = 600

5C = 600 - 200

5C = 400

C = 400 / 5

C = 80 ✅

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Continuando a investigação         ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos analisar o comportamento das nossas duas primeiras equações. Subtraindo a segunda equação da primeira temos:

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y + 2z = 100

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⠀⠀⠀➡️⠀Daonde obtemos que 0 < y < 99 e 0 < z < 50. Como temos mais equações do que incógnitas então vamos investigar o problema de forma um pouco mais braçal, iniciando com uma análise dos valores possíveis de z e sua compatibilidade com o sistema:

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z = 49

y = 100 - 2*49 = 2

x = 200 - 49 - 3*2 = 29

I) 5*29 + 3*2 + 49 = 200 ✅

II) 5*29 + 4*2 + 3*49 = 300 ✅

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z = 48

y = 100 - 2*48 = 4

x = 200 - 48 - 3*4 = 28

I) 5*28 + 3*4 + 48 = 200 ✅

II) 5*28 + 4*4 + 3*48 = 300 ✅

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z = 47

y = 100 - 2*47 = 6

x = 200 - 47 - 3*6 = 27

I) 5*27 + 3*6 + 47 = 200 ✅

II) 5*27 + 4*6 + 3*47 = 300 ✅

...

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⠀⠀⠀➡️⠀Podemos observar que, pela variação de x, temos 29 possibilidades de combinação para este time. ✅

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                             $\bf\large\purple{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$⚪

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