Question

Uma equação polinomial P(x) = 0 de coeficientes reais tem a raiz 2 +6i com multiplicidade 4 e a raiz simples 5 + i. Qual é
o menor grau possivel dessa equação?
Escolha uma opção:
a gr(p) = 10
b.gr(p) = 5
C gr(p) = 9
d.gr(p) = 6
e. gr(p)= 8​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Se existe o complexo 2 + 6i como raiz, então 2 - 6i também será raiz. Do mesmo modo, como 5 + i é raiz, então 5 - i também o é. Como 2 + 6i tem multiplicidade 4, logo 2 - 6i também o terá. Assim, o polinômio terá no mínimo  grau 10. Alternativa a)

Answer 2

Sabemos que um polinômio é escrito da forma :

$\text W(\text x) = \text a.(\text x-\text x_1)(\text x-\text x_2)(\text x-\text x_3)...(\text x-\text x_{\text n-1})(\text x-\text x_\text n)$

onde :

$\text x_1 ,\text x_2\ ,...\ , \text x_{\text n-1},\text x_\text n =$ raízes

raiz A de multiplicidade N, significa que em N vezes o termo A é raiz do polinômio.

Então ao dizer que 2+6i é raiz com multiplicidade 4 é o mesmo que dizer que:

$[\ \text x-(2+6\text i) \ ]^4$  

Porém sabemos que se o polinômio possui uma raiz complexa, então o conjugado tbm é raiz, isto é :

$[\ \text x -(2-6\text i) \ ]^4$

E temos que 5+ i é raiz, portanto seu conjugado tbm é raiz, isto é  :

$[\ \text x-(5+\text i) \ ].[\ \text x-(5-\text i)\ ]$

O polinômio é formado por toda essas raízes, ou seja :

$\text{P(x)}= [\text x-(2+6\text i)]^4.[\text x-(2-6\text i)]^4.[\ \text x-(5+\text i) \ ].[\text x-(5-\text i)]$

fazendo o produto vamos anotar só as variáveis com os respectivos graus, assim :

$\text{P(x)}= [\text x-(2+6\text i)]^4.[\text x-(2-6\text i)]^4.[\ \text x-(5+\text i) \ ].[\text x-(5-\text i)]\\\\\\ \text{P(x)} = [\ \text x^4+... \ ][\ \text x^4+... \ ].[\ \text x^2+... \ ] \\\\\\ \text{P(x)}= [\text x^8+... \ ].[\ \text x^2+.... \ ] \\\\\\ \text{P(x)}= \text x^{10} + ...$

Então, o menor grau para p(x) é 10.

letra a