Question

Uma equação Diofantina na forma ax + by = c possui solução se, e somente se:
a) a e b forem primos relativos
b) a e b forem divisíveis por c
c) a, b e c forem números reais
d) o mínimo múltiplo comum entre a e b for o mesmo em b e c
e) o máximo divisor comum entre a e b também dividir c

Answer 1

Resposta:

A alternativa correta é a e, a equação Diofantina possui solução se e somente se o máximo divisor comum entre a e b, MDC(a,b), também dividir c.

Explicação passo a passo:

Demonstração:

1) Suponhamos que x=p e y=q sejam uma solução da equação ax + by = c. O MDC(a,b) divide a e b, então ele também divide a*p + b*q, isso pode ser observado desenvolvendo a divisão de a*p + b*q por MDC(a,b):

(a*p + b*q) / MDC(a,b) = (a/MDC(a,b))*p + (b/MDC(a,b))*q

Mas p e q são uma solução da equação Diofantina, então

a*p + b*q = c

=> MDC(a,b) divide c.

2) Suponha agora que MDC(a,b) divida c.

Então temos que c = MDC(a,b) * k, onde k é um inteiro. Mas é possível provar que existem inteiros x e y tais que:

MDC(a,b)  = a*x + b*y

Multiplicando a equação acima por k:

MDC(a,b)*k = a*x*k + b*y*k

=> MDC(a,b)*k = a*(x*k) + b*(y*k)

Ou seja, x*k e y*k são soluções da equação Diofantina.

Portanto a equação Diofantina ax + by = c possui solução se e somente se MDC(a,b) também divide c.

Answer 2

Somente a alternativa E está correta, pois para uma equação diofantina com duas variáveis possuir solução o coeficiente c deve ser divisível pelo máximo divisor comum entre os coeficientes a e b.

Equação Diofantina

As equações diofantinas lineares possuem o seguinte formato:

$ax+by+\dots+nz=c$

Onde:

$a,b,c~e~n=\mathbb{Z}$

(Pertence ao conjunto dos números inteiros)

As diofantinas são equações de lineares de primeiro grau que possuem duas ou mais variáveis.

Como saber se uma equação diofantina com duas variáveis possuí solução?

Para saber ser uma equação diaofantina com duas variávies possuí solução, devemos seguir o seguinte roteiro:

• Calcular o  $mdc(a,b)$;
• Para analisar se a equação possuí uma solução existencia,iremos verificar se dividir o coeficiente c é divisível por $mdc(a,b)$, ou seja, $mdc(a,b)|c$;

$p=\dfrac{c}{mdc(a,b)}$

• Se essa condição for respeitada a equação diofantina possuí uma solução.

Analisando as sentenças:

Letra A) Errada.

Letra B) Errada.

Letra C) Errada.

Letra D) Errada.

Letra E) Correta, pois como vimos acima, para uma equação diofantina possuir uma solução a seguinte condição deve ser respeitada: $mdc(a,b)|c$

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