Question

Uma equação algébrica do 3º grau tem raízes -1, 1 e 2.Sabendo que o coeficiente do termo de 3º grau é 2, determine os outros coeficientes e escreva a equação.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A equação é do tipo $2x^3+ax^2+bx+c=0$. Precisamos encontrar os valores de  $a,\;b\;e\;c$.

Como - 1 é raiz, se substituirmos x por - 1 na equação o resultado dá 0. Então:

$2\cdot (-1)^3+a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=0\\\\2\cdot(- 1)+a \cdot 1 -b+c=0\\\\-2+a-b+c=0\\\\a-b+c=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( i )$

Como 1 é raiz, se substituirmos x por 1 na equação o resultado dá 0. Então:

$2\cdot (1)^3+a\cdot(1)^2+b\cdot(1)+c=0\\\\2\cdot1+a \cdot 1 +b+c=0\\\\2+a+b+c=0\\\\a+b+c=-2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( ii )$

Como 2 é raiz, se substituirmos x por 2 na equação o resultado dá 0. Então:

$2\cdot (2)^3+a\cdot(2)^2+b\cdot(2)+c=0\\\\2\cdot8+a \cdot 4 +2b+c=0\\\\16+4a+2b+c=0\\\\4a+2b+c=-16\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( iii )$

Com as equações $( i ),\;( ii )\; e\; ( iii )$ temos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{array}{lll}a-b+c=2\\a+b+c=-2\\4a+2b+c=-16\end{array}\righ$

Isolando c nas duas primeiras equações, temos:$c=2-a+b\;\;e\;\;c=-2-a-b$

Segue dessas duas equações que:

$2-a+b=-2-a-b\\\\-a+b+a+b=-2-2\\\\2b=-4\\\\b=\frac{-4}{2} \\\\b=-2$

Jogando $b=-2$ na equação $( i )$, temos:

$a-(-2)+c=2\\\\a+2+c=2\\\\a+c=2-2\\\\a+c=0\\\\a=-c\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( iv )$

Jogando $b=-2$ na equação $( iii )$, temos:

$4a+2\cdot (-2)+c=-16\\\\4a-4+c=-16\\\\4a+c=-16+4\\\\4a+c=-12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( v )$

Substituindo a equação $( iv )$ na equação $( v )$, temos:

$4 \cdot (-c) + c = -12\\\\-4c+c=-12\\\\-3c=-12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-1)\\\\3c=12\\\\c=\frac{12}{3} \\\\c=4$

Como $a=-c$, temos:

$a=-4$

A equação é:

$2x^3-4x^2-2x+4=0$