Question

Uma empresa tem o custo para produzir x bens por semana dado por C(x) = (10^−6)(x^3) − 3×(10^−3)(x^2) +6x+1000. O preco para que x bens possam ser vendidos semanalmente tem demanda p = 12−15×(10^−4)x. Determine o volume e o preco de venda para que o lucro seja maximo.

Answer 1

x1 < x2 =\u21d2 L(x1) < L(x2). Isto significa que se o consumo crescer o lucro cresce. Se L = L(x) for diferenciável, temos que: LMg(x) = L \u2032(x) > 0, para todo x. Proposição 8.2. Seja L \u2208 C1. 1. Se RMg(x) > CMg(x), então L é crescente. 2. Se RMg(x) < CMg(x), então L é decrescente 3. x0 é um ponto crítico de LMg = LMg(x) se, e somente se RMg(x0) = CMg(x0). 296 CAPÍTULO 8. A DERIVADA EM ECONOMIA 4. Sendo C \u2208 C2, então o lucro é máximo em x0, se CMe(x0) = CMg(x0). Da proposição anterior segue que, se RMg(x) > CMg(x), deve ser produzida a unidade se- guinte e se RMg(x) < CMg(x) não se deve produzir a seguinte unidade. Derivando o lucro: L(x) = R(x)\u2212 C(x), temos: L\u2032(x) = RMg(x)\u2212 CMg(x) =\u21d2 L\u2032(x0) = 0\u21d0\u21d2 RMg(x0) = CMg(x0). Por outro lado, para que o lucro seja máximo devemos ter custo mínimo e receita máxima,isto é, C \u2032\u2032(x0) > 0 e R\u2032\u2032(x0) < 0; logo L\u2032\u2032(x0) < 0. Portanto, o lucro é máximo em x0 se: RMg \u2032(x0) < CMg \u2032 (x0).