Matemática, perguntado por limanascimento31, 6 meses atrás

Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x²– 60x + 2400. Considerando o custo C em
reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo,

Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

Para determinarmos a quantidade de unidades produzida para que o custo seja mínimo, devemos utilizar as fórmulas que calculam o ponto vértice (ponto máximo ou mínimo) da parábola, ponto que o gráfico muda o seu sentido.

Mas por que parábola? Porque a função dada é de segundo grau!

Lembre-se que a função padrão de segundo grau é:

f(x) = ax² + bx + c ⇔ y = ax² + bx + c

O qual, "a" indica a concavidade da parábola, "b" é o coeficiente linear e "c" é o coeficiente independente de uma função. f(x) = y → representa o eixo das ordenadas e x → representa o eixo das abscissas.

Através da função dada, os valores dos coeficientes são:

a = 1, b = -60 e c = 2400

Devido ao coeficiente "a" ser positivo, a = 1, então podemos notar que a parábola terá formato U. Diante disto, com a>0 temos um ponto mínimo.

Este ponto mínimo é dado por (Xv e Yv), chamado de ponto do vértice ou vértice da parábola, menor ponto possível da parábola. E são encontrados aplicando-se as seguintes fórmulas:

$Xv = \dfrac{-b}{2a} \\\\\\Yv=\dfrac{-\Delta}{4a}$

Cálculo do Xv:

$Xv = \dfrac{-b}{2a}\\\\Xv=\dfrac{-(-60)}{2\cdot1}\\\\Xv=30$

Cálculo do Yv:

$Yv=\dfrac{-\Delta}{4a}\\\\Yv=\dfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a} \\\\Yv=\dfrac{-((-60)^{2}-4\cdot1\cdot2400)}{4\cdot1}\\\\Yv=\dfrac{-(3600-9600)}{4}\\\\Yv=\dfrac{6000}{4}\\\\Yv=1500$