Question

Uma empresa produz dois bens, cujas equações de demanda são da-
das por:

x = 500 – 2p + q e,
y = 900 + p – 3q

em que x e y são as quantidades produzidas, p e q são seus preços unitários, respec-
tivamente. Se a função custo para fabricar esses bens for:

C = 10.000 + 200x + 100y

a) obtenha os valores que maximizam o lucro
lucro.
b) O lucro maximo

Answer 1

Boa noite!

Calculando as derivadas parciais das funções demanda iniciais:
$\frac{\partial{x}}{\partial{p}}=-2\\ \frac{\partial{x}}{\partial{q}}=1\\ \frac{\partial{y}}{\partial{p}}=1\\ \frac{\partial{y}}{\partial{q}}=-3$

a)
Vamos montar a equação de Venda:
$V(x,y)=p\cdot{x}+q\cdot{y}\\ V=p(500-2p+q)+q(900+p-3q)\\ V=500p-2p^2+pq+900q+pq-3q^2\\ V=-2p^2-3q^2+500p+900q+2pq$

Derivadas parciais da venda:
$\frac{\partial{V}}{\partial{p}}=-4p+500+2q\\ \frac{\partial{V}}{\partial{q}}=-6q+900+2p$

Derivadas parciais do custo:
$\frac{\partial{C}}{\partial{p}}=200\frac{\partial{x}}{\partial{p}}+100\frac{\partial{y}}{\partial{p}}=200(-2)+100(1)=-400+100=-300\\ \frac{\partial{C}}{\partial{q}}=200\frac{\partial{x}}{\partial{q}}+100\frac{\partial{y}}{\partial{q}}=200(1)+100(-3)=200-300=-100$

Lucro (venda - custo):
$\frac{\partial{L}}{\partial{p}}=-4p+500+2q-(-300)=-4p+2q+800\\ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}=-6q+900+2p-(-100)=2p-6q+1000$

Resolvendo o sistema para derivadas parciais iguais a zero:
$\begin{cases} -4p+2q=-800\\ 2p-6q=-1000 \end{cases}$

Multiplicando a segunda equação por 2:
$\begin{cases} -4p+2q=-800\\ 4p-12q=-2000 \end{cases}$

Somando as duas equações:
$-10q=-2800\\ q=280$

Substituindo numa das outras equações:
$-4p+2(280)=-800\\ -4p+560=-800\\ -4p=-800-560\\ -4p=-1360\\ p=340$

Então:
$p=340\\ q=280\\ x=100\\ y=400$

b) Substituindo os valores:
$C=70000\\ V=146000\\ L=76000$

Espero ter ajudado!