Uma empresa possui como função receita R(x) = 20x – x² e função custo C(x) =5+ x, onde x é a quantidade de produtos comprados. Para essa empresa obter um lucro de R$13,00, qual deve ser a quantidade mínima e máxima de produtos vendidos?
a) 1 e 18
b) 2 e 18
c) 1 e 36
d)2 e 36
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Sandoval, que a resolução parece simples.
i) Tem-se que uma empresa possui as seguintes funções receita e custo, respectivamente:
R(x) = - x² + 20x
e
C(x) = x + 5
ii) Dadas as informações acima, pede-se as quantidades mínima e máxima que deverão ser vendidas para que a empresa tenha um lucro de R$ 13,00.
Veja: a função lucro será dada pela função receita menos a função custo. Assim teremos que:
L(x) = R(x) - C(x) ---- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, teremos:
L(x) = -x² + 20x - (x + 5) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
L(x) = - x² + 20x - x - 5 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
L(x) = - x² + 19x - 5 <--- Esta é a função lucro da empresa.
Agora vamos igualar o lucro a R$ 13,00 e vamos ver como ficará a função:
13 = -x² + 19x - 5 ---- passando "13" para o 2º membro, temos:
0 = - x² + 19x - 5 - 13 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro:
0 = - x² + 19x - 18 ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
-x² + 19x - 18 = 0 <-- Esta é a função lucro quando o lucro é igual a R$ 13,00.
iii) Agora vamos encontrar as quantidades mínimas e máximas para esse lucro de R$ 13,00. Note que basta calcularmos as raízes da função dada e teremos as quantidades mínimas e máximas pedidas. A menor raiz significará a quantidade mínima e a maior raiz significará a quantidade máxima.
Note que se você aplicar Bháskara na função dada [-x²+19x-18 = 0] vai encontrar as seguintes raízes (cremos que não haja qualquer dificuldade em encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, não é?):
x' = 1
x'' = 18
Logo, as quantidades mínimas e máximas serão, respectivamente:
1 e 18 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.