Question

Uma empresa negociou um empréstimo à taxa de 4% ao mês com capitalização composta mensal. O mútuo deverá ser liquidado em duas parcelas mensais e iguais de R$1.000,00 em 13 e 14 meses respectivamente. Qual é o valor que se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui esses dois pagamentos.

Answer 1

Vamos lá.

Vamos dividir o mútuo em dois capitais (C1 e C2).
Como o primeiro capital (C1) rendeu um montante de R$ 1.000,00 em 13 meses, considerando 4% (ou 0,04) ao mês de juros, teremos:

1.000 = C1*(1+0,04)¹³
1.000 = C1*(1,04)¹³ ---- veja que 1,04¹³ = 1,665. Assim:
1.000 = C1*1,665 , ou apenas:
1.000 = 1,665C1 --- vamos apenas inverter, ficando:
1,665C1 = 1.000
C1 = 1.000/1,665 ---- veja que esta divisão dá 600,60 (bem aproximado). Logo:
C1 = 600,60 <--- Este seria o valor do primeiro capital.

Agora vamos para o segundo capital (C2), nas mesmas condições do primeiro capital, mas com 14 meses de prazo.Assim, teremos:

1.000 = C2*(1,04)¹⁴ ----- veja que 1,04¹⁴ = 1,7317 (bem aproximado). Logo:
1.000 = C2*1,7317 --- ou apenas:
1,7317C2 = 1.000
C2 = 1.000/1,7317 --- esta divisão dá 577,47 (bem aproximado). Logo:
C2 = 577.47 <--- Este seria o valor do segundo capital.

Agora vamos ao valor total do mútuo. Para isso, somaremos os dois capitais. Assim:

600,60 + 577,47 = 1.178,07 <--- Este teria sido o valor total do mútuo que foi pago em duas parcelas de R$ 1.000,00 (cada uma) para pagamento em 13 e 14 meses.

Bem, agora, vamos ver qual seria o valor que o mutuário pagaria (qual o montante) se o empréstimo fosse para pagar de uma só vez (ou seja, em uma única parcela) após 15 meses.
Assim, utilizando a fórmula do montante em juros compostos, que é dado por:

M = C*(1+i)^(n) --- fazendo as devidas substituições, teremos:

M = 1.178,07*(1,04)¹⁵ ----- veja que 1,04¹⁵ = 1,8 (bem aproximado). Assim:

M = 1.178,07*1,8 --- veja que isto dá 2.120,53 (bem aproximado). Logo:
 
M = 2.120,53 <--- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.