Question

Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L. Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima?

Answer 1

O volume de um cilindro pode ser calculado através da seguinte fórmula:

V = A base x h
V = π.r².h

Porém sabemos que o volume máximo do tanque deve ser igual a 1.000 L (1m³), então:

1 = π.r².h
h = 1/(π.r²)

A área deste tanque será igual a:

A = 2.A base + A lateral
A = 2.π.r² + 2.π.r.h

Substituindo o valor de h:

A = 2.π.r² + 2.π.r x 1/(π.r²)
A = (2 + 2.π.r³)/r

Agora, para encontrarmos a área mínima deste tanque, vamos deriva-la em função de r:

A'(r) = [(6.π.r²).r - (2 + 2.π.r³).(1)]/r²
A'(r) = (4.π.r³ - 2)/r²

Agora, para encontrarmos o ponto crítico, devemos igualar a expressão igual a 0, porém, como denominador não pode ser 0, temos que:

4.π.r³ - 2 = 0
r = ∛2/4.π
r = ∛1/2.π

Substituindo na fórmula da altura do tanque:

h = 1/(π.(∛1/2.π)²)
h = (∛4.π²)/π