Question

Uma empresa fabricante de caixas d'água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se a equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000 L. Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizado para sua fabricação seja minimo?

Answer 1

Olá Adilson,
  Para responder esse problema com maior facilidade, usaremos os conceitos de derivada.
  Primeiro vamos deduzir alguns caminhos até chegar a resposta.
  Igualando a fórmula de volume do cilindro a 1000, teremos que  $\pi r^{2}h = 1000$  isolando o h teremos  $h = \frac{1000}{ \pi r^{2}}$.
  Agora temos uma função que diz a respeito do comportamento de h, mas não é só isso. A seguir precisaremos de uma função que diga a respeito da área total do cilindro.
    
   $Acilindro total= 2areadabase + arealateral$
  
  $Area = 2 \pi r^{2} + 2 \pi rh$
 
   Note que a área lateral, pode ser imaginada como um retangulo, onde $2\pi r$ é como se fosse a largura, e h a altura desse retangulo.
   Em seguida substituiremos "h", por sua função, adquirindo uma nova função, agora que nos diz a respeito da área total deste cilindro.
    
  $2 \pi r^{2} + 2 \pi r( \frac{1000}{ \pi r^{2}} )$

simplificando...

$2 \pi r^{2} + \frac{2000}{r}$

pronto, agora temos uma função de área, com dominio em r.

     Agora entra o conceito de derivada, para saber o ponto mínimo dessa função, vamos deriva-la e igualar a zero, assim vamos achar o ponto de mínima.

derivando e igualando a zero...
   
$4 \pi r - \frac{2000}{r^{2}} =0$

     Manipulando e isolando r, achamos seu valor mais propício, o de 5,42.

    Após achar esse valor, substitua na primeira função de h, assim além do valor do raio, também teremos o valor da altura.
     
    $\frac{1000}{ \pi 5.42^{2}}$ ≈ 10,83.
  altura mínima = 10,83.
  raio mínimo = 5,42.
     Espero ter ajudado.