Question

Uma empresa do ramo de viagens trabalha com fretamento de ônibus. Cada ônibus tem 40 luga res disponíveis para serem ocupados, sendo assim, o valor cobrado para uma viagem ao balneário mais próximo é de R$30,00. Caso haja assentos vazios, cada passageiro deverá pagar R$ 2,00 a mais por assento vazio.

a) Se o grupo possui 25 pessoas, qual o preço da passagem para essa excursão?

b) Expresse o valor V total pago pelo grupo em função da quantidade x de assentos vazios nesse ônibus.

C- Sabendo que um grupo de mais de 30 pessoas pagaram R$ 1.400 pelo passeio, quantos lugares ficaram vazios no ônibus?

d) O valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é?

Answer 1

Resposta:

a) preço passagem p 25 pessoas = R$60

b) V(x) = 1200 + 50x - 2x²

c) lugares vazios x = 5

d) V(13) = R$1.512,00 (Max arrecadado)

Explicação passo-a-passo:

a)

x = assentos vazios

x = 40 - 25 = 15

p (x) =. 30 + 2.x

p(15) = 30 + 2.15

p(15) = 30 + 2.15 = 30 + 30 = $60

b)

V(x) = (40 - x).p(x)

V(x) = (40 - x).(30 + 2x)

V(x) = 1200 + 80x - 30x - 2x²

V(x) = 1200 + 50x - 2x²

c)

V(x) = $1.400

1.400 = 1.200 + 50x - 2x²

2x² - 50x + 1.400 - 1.200 = 0

2x² - 50x + 200 = 0

x² - 25x + 100 = 0

x = [25 ± √(25² - 4.100)]/2

x = (25 ± √225)/2

x = (25 ± 15)/2

x1 = 40/2 = 20

x2 = 10/2 = 5 lugares vazios ✓

d)

xv = - b/2a

x² - 25x + 100 = 0

xv = - b/2a (vértice da parábola)

x = 25/2 = 12,5 ≈ 13 lugares vazios

V(13) = 1200 + 50.13 - 2.13²

V(13) = R$1.512,00

Answer 2

a) O preço da passagem para cada pessoa é R$ 60,00.

b) O valor V em função da quantidade de assentos vazios (x) é $V(x) = -2x^2 +55x+1.000$.

c) Ficaram 5 lugares vazios no ônibus.

d) O valor máximo arrecadado em uma viagem é R$ 1.512,50.

Função quadrática

Chamamos de função quadrática toda função que possui a forma geral $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$. Nesse tipo de função, o gráfico é uma parábola.

Sobre esse tipo de função, observe as seguintes considerações importantes:

• Suas raízes podem ser encontradas por meio da fórmula de Bháskara, onde $x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta} }{2 \cdot a}$.
• As coordenadas do vértice (o ponto de máximo ou de mínimo) da função são encontrados pelas fórmulas: $x_v = \frac{-b}{2 \cdot a}; \; y_v = \frac{-\Delta}{4 \cdot a}$.

Agora, vamos responder os itens:

a) Se o grupo é de 25 pessoas, então restaram 15 assentos vazios no ônibus. Assim, cada passageiro pagará R$ 30,00 mais R$ 2,00 por cada assento vazio, ou seja, 15 x 2 = R$ 30,00.

Logo, cada pessoa pagará R$ 30 + R$ 30 = R$ 60,00.

b) Sendo x os assentos vazios. Desse modo, observe que a quantidade de pessoas no ônibus é $40-x$. Observe também que o valor pago por pessoa é $30+2x$. Como o valor total pago (V) pelo grupo é o produto entre a quantidade de pessoas e o valor pago por cada uma, então:

$V(x) = (30+2x) \cdot (40-x)\\\\V(x) = 1.200-30x+80x-2x^2\\\\V(x) = -2x^2+50x+1.200$

O valor (V) em função da quantidade de assentos vazios (x) é $V(x) = -2x^2+50x+1.200$.

c) Nesse caso, devemos igualar a função obtida no item anterior ao valor pago pelo grupo. Deste modo conseguiremos encontrar a quantidade de assentos vazios. Logo:

$-2x^2+50x+1.200 = 1.400\\\\-2x^2+50x+1.200 - 1.400=0\\\\-2x^2+50x-200 =0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$\Delta = 50^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-200)\\\\\Delta = 2.500 - 1.600\\\\\Delta = 900$

$x = \frac{-50\pm\sqrt{900} }{2 \cdot (-2)} \\\\x = \frac{-50 \pm30}{-4} \\\\x_1=\frac{-50-30}{-4} = 20\\\\x_2 = \frac{-50+30}{-4} = 5$

A quantidade de assentos vazios é 5, pois o grupo foi mais de 30 pessoas.

d) Para encontrar o valor máximo arrecadado, precisamos calcular o $y_v$. Observe que o caso de utilizar $x_v$ seria para encontrar a quantidade de assentos vazios que gera a arrecadação máxima. Assim, temos:

$\Delta = 50^2- 4 \cdot (-2) \cdot 1.200\\\\\Delta = 2.500 - 4 \cdot (2.400)\\\\\Delta = 2.500 + 9.600\\\\\Delta = 12.100$

$y_v=\frac{-12.100}{4 \cdot (-2)} \\\\y_v=\frac{-12.100}{-8}\\\\y_v = 1.512,50$

Portanto, a arrecadação máxima em uma dessas viagens é R$ 1.512,50.

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