Question

Uma empresa deve embalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-da-amazônia. Sabe-se que o kg do amendoim custa R$ 12,00, o kg da castanha de caju custa R$ 32,00, e o kg da castanha-da-amazônia custa R$25,00. Cada embalagem deve conter 400 gramas da mistura e o peso total dos componentes da mistura de cada embalagem será R$ 8,75. Além disso, a quantidade de castanha-da-amazônia em cada embalagem deve ser três quintos da soma das outras duas. Desta forma, quanto conterá cada embalagem?

Answer 1

Resolvendo o sistema de equações, sabemos que teremos ao todo: 150 gramas de amendoim, 100 gramas de castanha de caju e 150 gramas de catasnha da amazonia.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente assumir valores matematicos para as quantidade de cada ingrediente.

Vamos chamar a quantidade de amendoim de A, a quantidade de castenha de caju de C e a quantidade de castanha da amazonia de Z.

Assim sabemos que a quantidade de castanha da amazonia é 3/5 da soma das outras duas, logo:

$Z=\frac{3}{5}(A+C)$

E sabemos que a soma das três na caixa deve dar 400g, mas vamos usar em quilogramas, logo a soma das três deve dar 0,4 kg:

$A+C+Z=0,4$

E sabemos que multiplicando cada uma pelo seu preço por kg, teremos o total de 8,75 reais:

$12A+32C+25Z=8,75$

Assim temos três equações e três incognitas:

$Z=\frac{3}{5}(A+C)$

$A+C+Z=0,4$

$12A+32C+25Z=8,75$

Podemos usar a primeira equação e subtituir Z nas outras duas:

$A+C+\frac{3}{5}(A+C)=0,4$

$12A+32C+25.\frac{3}{5}(A+C)=8,75$

Simplificando:

$\frac{8}{5}(A+C)=0,4$ (Simplesmente somei as frações de mesma letra).

$12A+32C+5.3(A+C)=8,75$ (Somente dividi 25 por 5).

Simplificando as duas mais ainda:

$A+C=0,25$ (Passa o 5 multiplicando e o 8 dividindo).

$27A+47C=8,75$ (Simplesmente multipliquei o parenteses e somei as que tinha letras iguais).

Agora temos duas equações simplificadas:

$A+C=0,25$

$27A+47C=8,75$

Para resolver esta agora, vamos multiplicar a equação de cima toda por 27, assim os coeficientes de A ficarão iguais:

$27A+27C=6,75$

$27A+47C=8,75$

Agora vamos subtrair a equação de cima na de baixo:

$27A-27A+47C-27C=8,75-6,75$

Simplificando:

$20C=2$

$C=0,1$

Assim temos que castanha de caju terão 0,1 kg ou 100 gramas.

Sabendo desta basta substituir em qualquer equação e encontrar as outras:

$A+C=0,25$

$A+0,1=0,25$

$A=0,15$

Assim temos que serão 0,15 kg ou 150 gramas de amendoim.

E por fim:

$Z=\frac{3}{5}(A+C)$

$Z=\frac{3}{5}(0,15+1)$

$Z=0,15$

Assim teremos ao todo: 150 gramas de amendoim, 100 gramas de castanha de caju e 150 gramas de catasnha da amazonia.