Question

Uma empresa deseja fazer cópias de uma cunha em uma fresadora de controle numérico no computador (CNC). As laterais da cunha são dois triângulos idênticos (faces ABC e DEF, com ângulos de 90º nos vértices B e E, respectivamente) e o corpo é constituído de três retângulos (faces ABEF, ACDF e BCDE). A face ACDF foi assentada no plano XY de um sistema tridimensional de coordenadas cartesianas, como mostrado na figura a seguir, com o ponto F ocupando a origem do sistema
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Para fazer as cópias é necessário, dentre outros, determinar a equação vetorial da face BCDE, uma vez que a fresadora CNC requer tal informação. A partir de medições feitas em uma máquina de medir coordenadas foram determinadas as coordenadas dos pontos A(3, 0, 0), B(3, 2, 4) e E(0, 2, 4). Todas as medidas estão em centímetros.

Com base nos dados apresentados, pode-se afirmar que a equação vetorial da face BCDE será
A
(x, y, z) = (3, 2, 4) + h(3, 0, 0) + t(0, 12, 6), com 0 = h = 1 e -2/3 = t = 0.

B
(x, y, z) = (3, 2, 4) + h(-3, 0, 0) + t(0, 12, 6), com -1 = h = 1 e 0 = t = 2/3.

C
(x, y, z) = (3, 2, 4) + h(-3, 0, 0) + t(0, -12, -6), com -1 = h = 0 e -2/3 = t = 2/3.

D
(x, y, z) = (3, 2, 4) + h(3, 0, 0) + t(0, -12, -6), com -1 = h = 0 e 0 = t = 2/3.

E
(x, y, z) = (3, 2, 4) + h(-3, 0, 0) + t(0, 12, -6), com 0 = h = 1 e 0 = t = 2/3.

Answer 1

Considerando o enunciado da questão e os conhecimentos a respeito de produto vetorial, é possível afirmar que a alternativa correta é a letra E.

Sobre produto vetorial:

Sabemos que um plano é formado por um ponto somado a dois vetores, dessa forma, precisamos encontrar dois vetores que sejam linearmente independentes e que pertençam ao plano. O primeiro é bem simples, podemos tomar o vetor EB, que chamaremos de $\vec u$ = (-3,0,0). O segundo por sua vez não é tão simples, no entanto, uma forma de achá-lo é fazendo o produto vetorial de $\vec u$ com o vetor normal ao plano BCDE. Neste caso, o problema nos informa que os vértices B e E fazer um ângulo de 90° com o plano, por esse motivo, podemos tomar o vetor EF, que chamaremos de $\vec n$ = (3,2,4).

Agora, para encontrar o segundo vetor do plano, podemos fazer $\vec n \times \vec u$, de modo que encontramos o vetor $\vec v$ = (0,12,-6). Com isso, basta verificar se estes vetores satisfazem os pontos dados para o plano, note:

$B = (3,2,4) + 0.(-3,0,0) + 0.(0,12,-6) = > (3,2,4)\\E = (3,2,4) + 1.(-3,0,0) + 0.(0,12,-6) = > (0,2,4)\\C = (3,2,4) + 0.(-3,0,0) + 2/3.(0,12,-6) = > (3, 10,0)\\D = (3,2,4) + 1.(-3,0,0) + 2/3.(0,12,-6) = > (0, 10,0)$

Portando, a alternativa E descreve a equação vetorial da face BCDE.

Saiba mais sobre produto vetorial em https://brainly.com.br/tarefa/47674739

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