Question

Uma empresa deseja construir um tanque de fundo quadrado com capacidade para 750 litros de água.
O custo do revestimento do fundo do tanque é de 3 reais por m^2 e o das laterais é de 2 reais por m^2.
Quais devem ser a soma do lado do fundo e da pronfundidade do tanque para que o custo seja mínimo ?

a) 7,5
b) 10
c) 12,5
d) 17,5
e) 20​

Answer 1

Utilizando derivada para maximos e minimos, temos que a soma do lado da base mais a profundidada é 1,75. Acredito que eu possa ter errado alguma conta com 10 acima, mas é mais provavel que o gabarito que esteja defasado, pois chequei tudo e esta questão é muito simples. Qualquer erro que encontrar avise, acredito que a resposta certa é letra d) 17,5.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, se o fundo é quadrado, então a largura e comprimento do tanque são iguais e os chamarei de x, e a altura chamarei de y, sendo assim o volume deste tanque pode ser dado por:

$V=x^2.y$

Agora nos também já sabemos qual o valor deste volume, que é 750 litros, e como cada litro corresponde a 0,001 m³, então este tanque tem 0,750 m³. Logo:

$V=x^2.y$

$0,75=x^2.y$

Agora vamos montar a equação para a soma das áreas é:

$A=x^2+4yx$

Como a questão não falou nada, estou considerando que este tanque não tem tampa, ou seja, só somei a área da base mais a área das quatro laterais.

Mas ainda precisamos transformar essa equação da área em equação do preço, multiplicando a área da base do por 3 reais e das laterais ori 2 reais:

$A=x^2+4yx$

$P=3x^2+8yx$

Agora agora note que temos duas equações:

$0,75=x^2.y$

$P=3x^2+8yx$

Na primeira equação vou isolar o y:

$0,75=x^2.y$

$y=\frac{0,75}{x^2}$

E agora substituir na segunda equação:

$P=3x^2+8yx$

$P=3x^2+8\frac{0,75}{x^2}x$

$P=3x^2+\frac{6}{x}$

Agora temos a nossa função Preço que depende somente de x, então vamos derivar para encontrar o maximo e menimo dessa função:

$P=3x^2+\frac{6}{x}$

$P'=6x-\frac{6}{x^2}$

Agora vamos igualar a zero para encontrar os pontos criticos:

$0=6x-\frac{6}{x^2}$

$6x=\frac{6}{x^2}$

$6x^3=6$

$x^3=1$

$x=1$

Temos então que o ponto critico esta em x=1, agora precisamos saber se este ponto é maximo ou minimo, para isto basta derivarmos de novo:

$P'=6x-\frac{6}{x^2}$

$P''=6+\frac{12}{x^3}$

Note que quando substituirmos x=1 na segunda derivada, ela nos dara um valor positivo, logo a concavidade neste ponto é positiva, se é positiva, então x=1 é um ponto de minimo.

Então temos que x=1 é o lado minimo, agora vamos encontrar y:

$0,75=x^2.y$

$0,75=1.y$

$y=0,75$

E como a questão pede x+y:

x + y = 1,75

Então a soma do lado da base mais a profundidada é 1,75. Acredito que eu possa ter errado alguma conta com 10 acima, mas é mais provavel que o gabarito que esteja defasado, pois chequei tudo e esta questão é muito simples. Qualquer erro que encontrar avise, acredito que a resposta certa é letra d) 17,5.