Question

uma empresa de vidro decidiu convidar um matematico para fazer uma coleçao nova de acessorios para cozinha. Uma das invençoes é uma saladeira que foi projetada por meio da rotaçao, em torno do eixo-y, da area compreendia entre os graficos das funções f(x) = x²e g(x)= x4. Considere que cada unidade do eixo do grafico corresponde a 10cm isto e I=10cm. assinale a alternativa que corresponde o volume aproximado da quantidade de vidro para construir a saladeira em centimetro cubicos

Answer 1

Utilizando volume de integral de revolução, temos que este volume vale π/6 cm³.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, temos que descobrir a interseção destas duas funções:

$f(x)=g(x)$

$x^2=x^4$

$x^2=1$

$x=1$

Ou :

$x=0$

Assim temos que esta integração será de x = 0 até x = 1, pois é onde estas funções se encontram.

Agora vamos definir uma funçõa h(x) sendo a diferença entre estas duas funções:

$h(x)=x^2-x^4$

Agora basta integrarmos esta função da área entre eles em uma integral de volume que é dada por:

$V=\int_{0}^{1} 2\pi x.h(x) dx$

$V=2\pi\int_{0}^{1} x.(x^2-x^4) dx$

$V=2\pi\int_{0}^{1} (x^3-x^5) dx$

Integrando esta função:

$V=2\pi [\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}]_{0}^{1}$

$V=2\pi [\frac{1^4}{4}-\frac{1^6}{6}]$

$V=2\pi [\frac{1}{4}-\frac{1}{6}]$

$V=2\pi [\frac{6}{24}-\frac{4}{24}]$

$V=2\pi [\frac{2}{24}]$

$V=\frac{4\pi}{24}$

$V=\frac{\pi}{6}$

Assim temos que este volume vale π/6 cm³.