Question

Uma empresa de topografia, ao revisar os projetos de construção de uma rodovia, percebeu que uma das curvas da estrada ficou muito fechada, o que, de acordo com regras do órgão regulador de transportes da região, impossibilitava a aprovação do início das obras.
Na figura a seguir, a parábola representa o traçado correto da rodovia e a reta r : x = 3 representa um muro de contenção a ser construído próximo à curva.
Sabendo que o ponto F e o muro são, respectivamente, o foco e a diretriz da cônica, a equação cartesiana da parábola é dada por?

Answer 1

A equação da parábola com reta diretriz paralela ao eixo y é dada por:

(y - y0)² = 4p(x - x0)

sendo (x0, y0) o vértice da parábola e p a distância entre o vértice e o foco da parábola. Logo, o valor 2p indica a distância entre o foco e a reta diretriz. Neste caso, temos que esta distância é de uma unidade, ou seja:

2p = 1

p = 1/2

O vértice da parábola dista de 1/2 unidade do foco, ou seja, suas coordenadas são (2 + 1/2, 1) = (3/2, 1). Com estes valores, temos que a equação da parábola é:

(y - 1)² = 4(1/2)(x - 3/2)

(y - 1)² = 2(x - 3/2)

(y - 1)² = 2x - 3