Question

Uma empresa de embalagem recebeu um pedido de caixas retangulares de

papelão, onde o solicitante exigiu apenas que as caixas tivesse 15 litros de capacidade

e uma altura de 20 centímetros. Quais são as dimensões das caixas para obter o menor

custo com o papelão?

Answer 1

As dimensões das caixas para obter o menor custo com o papelão serão 20 cm x 27,39 cm x 27,39 cm.

Sabendo que as caixas devem ter 15 litros de volume (15 000 cm³) e uma altura de 20 cm, temos que determinar as dimensões da base da caixa de modo que a área superficial seja mínima. Sendo x e y as dimensões da base, temos que:

15000 = 20.x.y → x.y = 750

A = 2(20.x + x.y + 20.y) → A = 40(x + y) + 1500

Da primeira equação, temos x = 750/y, substituindo na segunda:

A = 40(750/y + y) + 1500

A = 30000/y + 40y + 1500

Derivando e igualando a zero, temos:

dA/dy = -30000/y² + 40

-30000/y² + 40 = 0

40 = 30000/y²

40y² = 30000

y² = 750

y = 27,39 cm

x.y = 750

x = 27,39 cm