Uma empresa de cosméticos bastante renomada no País tem a sua produção mensalmente de x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 2x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 4x² − 32x − 30.
Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa empresa deve vender para obter lucro máximo é igual a
a)4 lotes
b)5 lotes
c)6 lotes
d)7 lotes
e)8 lotes
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Para começar, temos que determinar a função Lucro / L(x), que será a diferença entre as vendas V(x) e o custo de produção C(x).
L(x) = V(x) - C(x)
L(x) = 2x² - 12x - (4x² - 32x - 30)
L(x) = 2x² - 12x - 4x² + 32x + 30
L(x) = -2x² + 20x + 30
A função lucro, da forma ax² + bx + c, possui coeficiente a negativo. Desse modo, podemos concluir que ela possui um ponto de máximo. Para calcular esse ponto, devemos derivar a equação e igualar a zero.
f(x) = -2x²
f'(x) = -4x
f(x) = +20x
f'(x) = 20
Portanto, L'(x) = -4x + 20
-4x + 20 = 0
-4x = -20
4x = 20
x = 5
Com isso, o lucro máximo dessa empresa ocorre com a venda de 5 lotes.
Alternativa correta: B.
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