Question

Uma empresa analisou a relação entre os gastos que teve com publicidade e as vendas nos últimos anos de seu principal produto. Os dados coletados (todos em mil reais) estão apresentados tabela seguinte.

Gastos com publicidade(x)       Vendas(Y)              X.Y             X²
                  3                                    7
                  4                                    14
                  8                                    15
                 12                                   28
                 14                                   32
Total X =                                          Total Y =        Total X.Y       Total X² =

Um gráfico de dispersão pode ser construído e mostrara uma relação entre X (gastos com publicidade) e Y (vendas do produto). Assim, uma estimativa linear pode ser construída para minimizar os erros dos ajustes através EQUAÇÃO DA RETA DA REGRESSÃO LINEAR Y=AX+B. Assinale a alternativa que corresponde a equação da reta da relação entre gastos com publicidade e vendas do produto da empresa.
Y = AX + B; A = x.y-n.x.y/x²-n(x)² ; B = Y – A . x, x = xi/n; Y = yi/n

A- Y=2,884X + 2,751
B- Y=2,0884X – 2,751
C- Y=2,0884X + 2,0751
D- Y=-2,0884X – 2,0751
E- Y=-2,884X + 2,0751 

Answer 1

Olá!

A dedução da fórmula para o cálculo da regressão linear para pontos (x,y) pode ser feita de modo simples se usarmos cálculo diferencial de várias variáveis. Entretanto, não é nosso objetivo aqui. Vou enunciar o que é importante(Já foi dada a fórmula, mas sem maiores explicações).

Para a regressão linear f(x) = ax + b, calculamos 'a' e 'b' do seguinte modo, definindo as variáveis x*, y* e u como auxiliares:


$x^* = \texttt{m\'edia dos x}\\y^* = \texttt{m\'edia dos y}\\ u_i = x_i - x^*$

Assim:

$a = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n y_iu_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2},~~~~ b = y^* - ax^*$


Calculamos as médias x* e y*:

$x^* = \dfrac{3+4+8+12+14}{5} = 8,2\\\\\\ y^* = \dfrac{7+14+15+28+32}{5}= 19,2$

Agora calculamos $u_i$

$u_1 = x_1 - x^* = 3-8,2=-5,2\\u_2 = x_2 - x^* = 4-8,2=-4,2\\u_3 = x_3 - x^* = 8-8,2=-0,2\\u_4 = x_4 - x^* = 12-8,2=3,8\\u_5 = x_5 - x^* = 14-8,2=5,8$

Agora calculamos $a$ com a equação acima:

$a = \dfrac{7(-5,2)+14(-4,2)+15(-0,2)+28(3,8)+32(5,8)}{(-5,2)^2+(-4,2)^2+(-0,2)^2+(3,8)^2+(5,8)^2} \\ \\ \\ \boxed{a = 2,0884}$

Calculamos b:

$b = y^* - ax^*\\b = 19,2 - 2,0884(8,2)\\ \\ \boxed{b = 2,0751}$



A equação procurada será, então:

$\boxed{f(x) = 2,0884x +2,0751 \longrightarrow alt.~ C}$