Question

Uma empresa alimentícia produz dois tipos de barra de cereal: Saborosa e Deliciosa. Para a produção das barras são utilizadas cereais e chocolate. Para a produção de uma caixa com 5 kg de barra de cereal Saborosa são utilizados 4 kg de cereais e 1 kg de chocolate, e para a Deliciosa são utilizados 3 kg de chocolate e 2 kg de cereais. A caixa da Saborosa custa R$ 20,00 e a caixa da Deliciosa custa R$ 30,00. O quilograma de chocolate custa R$ 4,00 e o quilograma de cereais custa R$ 1,00. Estão disponíveis por mês 12. 000 kg de chocolate e 21. 000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de caixas de cada barra de cereal deve ser produzida para maximizar o lucro

Answer 1

Resposta:A) Variáveis:

Saborosa (S); Deliciosa (D)

B) Função Objetiva:

MAX L = 12S + 16D

Restrições:

Chocolate                                        |                Cereais

1S + 3D ≤ 12.000                                             4S + 2D ≤ 21.000

Não Negatividade

S ≥ 0 e D ≥ 0 ou S , D ≥ 0

C)

D) 3.900 caixas de Saborosa; 2.700 caixas de Deliciosa

Lucros Máximo de R$ 90.000 reais

Explicação:3.

Preço 1 kg Cereais → R$ 1,00        |    Preço 1 kg Chocolate → R$ 4,00

Variáveis:

Saborosa (S)

Receita: 4 kg de Cereais + 1 kg de Chocolate

Preço de venda: R$ 20,000

Lucro Saborosa (S’) → S’=20 - (4.1 + 1.4) → S’=20 - (4 + 4) → S’=20 – 8 → S’=12

Deliciosa (D)

Receita: 2 kg de Cereais + 3 kg de Chocolate

Preço de venda: R$ 30,000

Lucro Deliciosa (D’) → S’=30 - (2.1 + 3.4) → S’=30 - (2 + 12) → S’=30 – 14 → D’=16

Lucro Total (L) = 12S + 16D

Função Objetiva:

MAX L = 12S + 16D

Restrições:

Chocolate                                        |                Cereais

1S + 3D ≤ 12.000                                             4S + 2D ≤ 21.000

Não Negatividade

S ≥ 0 e D ≥ 0 ou S , D ≥ 0

Vamos criar um sistema cartesiano onde o eixo das abcissas será a variável (S) e o eixo das ordenadas será a variável (D).

Plano Cartesiano Chocolate

S D

0 4000

12000 0

1S + 3D ≤ 12.000 → 1.0 + 3D ≤ 12.000 → 3D ≤ 12.000 → D ≤   →D ≤ 4.000

1S + 3D ≤ 12.000 → 1S + 3.0 ≤ 12.000 → 1S ≤ 12.000 → S ≤ 12.000

Grafico

Plano Cartesiano Cereais

S D

0 10500

5250 0

4S + 2D ≤ 21.000 → 4.0 + 2D ≤ 21.000 → 2D ≤ 21.000 → D ≤   →D ≤ 10.500

4S + 2D ≤ 21.000 → 4S + 2.0 ≤ 21.000 → 4S ≤ 21.000 → S ≤   →S ≤ 5.250

Grafico

Plano Cartesiano Chocolate/Cereais

Grafico

Resta Maximizar o Lucro

Maximizar L = 12S + 16D (este é o objetivo)

16D = -12S + L → D =  +  

Quando D é isolado vira uma equação do primeiro grau y = aX + b

O Coeficiente angular dessa equação é   (negativo), então o gráfico tem uma reta decrescente.

Neste caso iremos fazer uma análise gráfica dos limites do lucro dentro das restrições com retas paralelas (mesmo coeficiente angular) de valores variados da receita.

Grafico

Ampliando o gráfico no ponto de interseção da reta paralela com os limites do gráfico restrito obtemos que S = 3900 e D = 2700

Agora basta substituir os valores na equação do lucro máximo.

MAX L = 12(3.900) + 16(2.700) → MAX L = 46.800 + 43.200 → MAX L = 90.000