Question

Uma embalagem de pizza é feita a partir de um pedaço retangular de papelão medindo 20 cm por 40 cm. Para tanto,
são cortados seis quadrados de igual tamanho, três ao longo de cada um dos lados longos do retângulo, sendo depois o papelão
dobrado de maneira adequada para criar a embalagem (veja a figura abaixo); seja ”x” o comprimento de cada um dos lados dos seis
quadrados. Para qual valor de x o volume da embalagem será máximo?

Answer 1

Resposta:

x= (70 - 10.raiz(13))/9 ~ 3,772 cm

Explicação passo-a-passo:

O comprimento da caixa pizza será dada por: (40-3x)/2, e a sua largura: 20-2x.

Sendo a altura da caixa=x, então o volume da caixa da pizza será igual a:

V= (40-3x)/2. (20-2x). x

V= (40-3x). (20-2x). x/2

V= (800 -80x -60x +6x^2). x/2

V= (800 -140x +6x^2). x/2

V= (400 -70x +3x^2). x

V= 3x^3 - 70x^2 + 400x

O valor de Vmax será dado por V'=0, logo:

V'= 9.x^2 - 140.x + 400 = 0

x= (140 +/- raiz((-140)^2 - 4.9.400))/(2.9)

x= (140 +/- raiz(19600 - 14400))/18

x= (140 +/- raiz(5200))/18

x= (140 +/- raiz(400.13))/18

x= (140 +/- 20.raiz(13))/18

x= (70 +/- 10.raiz(13))/9

x'= (70 + 10.raiz(13))/9 ~ 11,784 cm

x"= (70 - 10.raiz(13))/9 ~ 3,772 cm

Verificando:

para x'= (70 + 10.raiz(13))/9 ~ 11,784 cm:

V= 3x'^3 - 70x'^2 + 400x'

V= 3.(11,784)^3 - 70.(11,784)^2 + 400.(11,784)

V~ -97,713 cm^3

Para x"= (70 - 10.raiz(13))/9 ~ 3,772 cm:

V= 3x"^3 - 70x"^2 + 400x"

V= 3.(3,772)^3 - 70.(3,772)^2 + 400.(3,772)

V~ 673,845 cm

Logo, o valor de x é de ~ 3,772 cm para se ter o max volume da caixa.

Verificando:

A dimensão da caixa seria de:

(40-3x)/2 => (40 - 3.3,772)/2 ~ 14,343 cm

20-2x => 20 - 2.3,772 ~ 12,457 cm

x= 3,772 cm

V= 14,343. 12,457. 3,772 ~ 673,8 cm^3

Blz?

Abs :)