Question

Uma embalagem cilíndrica, aberta em cima, deve ter uma capacidade de 425π cm3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,18 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,06 por cm2.  Admitindo que não há perda de material, determine as dimensões (comprimento e raio) que minimizam o custo do material para construí-lo.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Um raio de 5,21 cm e um comprimento de 15,66 cm reduzem o custo da fabricação do cilindro ao mínimo possível.

O volume do cilindro e dado pela fórmula:

V = πr²h

, onde r é o raio da base do cilindro e h sua altura.

Substituindo o valor fornecido no enunciado, teremos:

425π = πr²h

hr² = 425

h = 425/r²

É importante ressaltar que o cilindro será aberto em cima, logo vamos gastar material para revesti-lo apenas na base e nas paredes laterais.

Vamos calcular as áreas dessas partes, já que o valor do material nos foi fornecido em duas dimensões (cm²).

Área da base:

Ab = πr²

Área lateral:

AL = 2πrh

Para construirmos a base vamos ter um custo de 0,18*Ab reais. E o custo para construirmos a lateral do cilindro é de 0,06*AL. Logo, o custo total será a soma dos custos de cada parte:

C = 0,18Ab + 0,06AL = 0,18πr² + 0,12πrh

Substituindo a expressão inicial para a altura h que encontramos, teremos:

C = 0,18πr² + 0,12πr*(425/r²) = 0,18πr² + 51π/r

Vamos considerar que vocês sejam estudantes de ensino superior e estejam familiarizados com os conceitos de cálculo integral e diferencial. Deste modo, vamos calcular a derivada do custo em relação ao raio do cilindro:

C' = 0,36πr - 51π/r²

Para sabermos onde ocorre o custo mínimo devemos igualar essa derivada a zero:

C' = 0

0,36πr - 51π/r² = 0

0,36πr = 51π/r²

Para r ≠ 0, temos:

0,36r³ = 51

r³ = 51/0,36 = 141,6667

r = 5,21 cm

Agora vamos substituir esse valor naquela expressão inicial da altura:

h = 425/r² = 425/(5,21)² = 15,66 cm

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