Question

Uma editora imprime 1. 000 cópias de certo livro ao preço de R$ 10,00 por livro.

Se o número de cópias exceder 1. 000, a cada aumento de 100 cópias, o preço

por livro diminui de R$ 0,20; por exemplo, para a impressão de 1. 200 cópias, o

preço por livro é de R$ 9,60. Se, para a editora, o preço de custo de cada livro é

de R$ 6,00, qual o maior lucro que a editora pode obter com a impressão deste

livro???.

Answer 1

Precisaremos determinar a expressão da receita R em função de "x", o número de "incrementos" de 100 cópias nas quantidades de cópias imprimidas.

A receita é calculada pelo produto entre o número de cópias imprimidas e o preço unitário dos livros.

$\boxed{\sf R(x)~=~(Numero~de~Copias)\cdot (Preco~Unitario)}$

Segundo o texto, haverá, no mínimo, 1000 cópias podendo haver "x" incrementos de 100 cópias, isto é:

$\boxed{\sf Numero~de~Copias~=~1000~+~100\cdot x}$

Ainda, vemos que o preço unitário dos livros é, inicialmente, de 10 reais, havendo uma diminuição no preço unitário de 20 centavos para cada "x" incrementos de 100 cópias imprimidas.

$\boxed{\sf Preco~Unitario~=~10~-~0,20\cdot x}$

Com isso, temos então a função R(x) dada por:

$\boxed{\sf R(x)~=~(1000+100\cdot x)\cdot (10-0,20\cdot x)}$

Podemos ainda aplicar a propriedade distributiva da multiplicação para reescrevermos a função como:

$\boxed{\sf R(x)~=\,-20x^2~+~800x~+~10000}$

Por outro lado, a editora também terá seus custos atrelados a impressão destes livros, vamos então determinar a função que relaciona este custo C e "x".  

O exercício diz que cada livro custa 6 reais, assim, semelhante ao que foi visto na função receita, teremos C(x) dado pelo produto entre o número de cópias e o preço de custo unitário dos livros.

$\boxed{\sf C(x)~=~(1000+100\cdot x)\cdot 6}$

Aplicando a distributiva:

$\boxed{\sf C(x)~=~6000~+~600x}$

Agora sim podemos definir a função que descreve o lucro L(x) da editora, subtraindo o custo C(x) da receita R(x):

$\sf L(x)~=~R(x)~-~C(x)\\\\\\L(x)~=\,(-20x^2~+~800x~+~10000)~-~(6000~+~600x)\\\\\\L(x)~=\,-20x^2~+~800x~-~600x~+~10000~-~6000\\\\\\\boxed{\sf L(x)~=\,-20x^2~+~200x~+~4000}$

Observe que o lucro é dado por uma função de 2° grau com concavidade voltada para baixo, logo, para calcularmos seu máximo, basta determinar seu vértice.

$\boxed{\sf \left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)}$

Substituindo os valores:

$\sf \left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{200}{2\cdot (-20)}~,\,-\dfrac{200^2-4\cdot (-20)\cdot 4000}{4\cdot (-20)}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{200}{-40}~,\,-\dfrac{40000+320000}{-80}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(5~,\,-\dfrac{360000}{-80}\right)\\\\\\\boxed{\sf\left(V_x~,~V_y\right)~=~ \left(5~,~4500\right)}$

Teremos então lucro máximo de 4500 reais, gerado com a venda das 1000 cópias mais 5 incrementos de 100 cópias, isto é, 1500 cópias (1000+5x100).

Resposta: 4500 reais

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$