Question

uma dívida de r$ 1200 é paga em 6 prestações mensais com uma taxa de juros 10% através do sistema SAC de acordo com essas informações calcule a parcela de amortização a parcela de juros a prestação e o estado da dívida na época k

Answer 1

No SAC, Sistema de Amortização Constante, as prestações são calculadas como a soma do valor amortizado (que vai ser sempre igual, fixo) e os juros (que vão decrescer junto com a dívida). Nesse sistema, as prestações serão sempre variáveis e decrescentes.

Para saber o valor das prestações e os estados da dívida de forma mais objetiva, é conveniente a confecção de uma tabela - como a que adicionei em anexo. De qualquer forma, irei responder essa questão por tópicos.

• Parcelas de amortização

Para descobrir o valor das parcelas de amortização, basta dividir o valor total da dívida (D₀) pela quantidade de prestações (k). No caso, teremos a seguinte amortização:

$\mathsf{A=\dfrac{D_0}{k}}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{1.200}{6}=200}$

A amortização será igual a R$ 200. Como o valor amortizado será fixo, podemos preencher todas as linhas da coluna da amortização com o valor de R$ 200.

• Parcelas de juros

No sistema SAC, os juros vão ser sobre o saldo devedor, então, os juros serão variáveis em cada período mensal da dívida - tendo um caráter decrescente. Para o cálculo dos juros, basta multiplicar a taxa de juros pelo saldo devedor - antes da quitação do mês. O enunciado nos de que os juros são de 10% (ou 0,1 em sua forma decimal). Calculando em função dos meses, teremos:

$\mathsf{j_k=D_{k-1}\cdot i=D_{k-1}\cdot0,1}\\\\ \mathsf{j_1=1.200\cdot0,1=120}\\\\ \mathsf{j_2=1.000\cdot0,1=100}\\\\ \mathsf{j_3=800\cdot0,1=80}\\\\ \mathsf{j_4=600\cdot0,1=60}\\\\ \mathsf{j_5=400\cdot0,1=40}\\\\ \mathsf{j_6=200\cdot0,1=20}$

Os valores adquiridos acima, dos juros do primeiro mês (J₁) até os juros do último mês (J₆) podem ser substituídos na tabela.

Obs.: na tabela, o saldo devedor leva em consideração o pagamento do mês. Por exemplo, no mês 1, considerei que foi pago o valor amortizado (por isso o saldo devedor é de 1.200 - 200).

• Prestações

Os valores das prestações (Pₖ) serão encontrados a partir da soma dos juros com o valor amortizado (R$ 200). Chamarei cada prestação de P. Teremos:

$\mathsf{P_k=A_k+j_k=200+j_k}\\\\\mathsf{P_1=200+120=320}\\\\ \mathsf{P_2=200+100=300}\\\\ \mathsf{P_3=200+80=280}\\\\ \mathsf{P_4=200+60=260}\\\\ \mathsf{P_5=200+40=240}\\\\ \mathsf{P_6=200+20=220}$

Os valores das prestações foram adicionados na última coluna da tabela em anexo.

• Estado da dívida

Seguindo o modelo da referência bibliográfica (ALMEIDA, 2017, p. 31-32), denoto abaixo uma fórmula para o cálculo do estado da dívida (D) em função de k.

$\mathsf{D_k=D_0-k\cdot\dfrac{D_0}{n}}\\\\ \mathsf{D_k=1.200-k\cdot\dfrac{1.200}{6}}\\\\ \underline{\mathsf{D_k=1.200-k\cdot200=200\left(6-k\right)}}$

Para melhor facilidade, em uma tabela, como a adicionada em anexo, fica fácil identificar qual o estado da dívida em qualquer período (para qualquer $\mathsf{k\in\mathbb{Z}}$). É importante ter em mente que os valores dos meses de 1 até 6 leva em consideração a quitação do mês.

Referência

ALMEIDA, P. C. Z. Matemática financeira aplicada ao ensino fundamental e médio: ferramenta organizacional do orçamento doméstico. Universidade Tecnológica Federal do Paraná: Cornélio Procópio, 2017. p. 31-35.