Question

Uma dívida $ 50.000,00 vai ser amortizada, por meio do Sistema Price em 8 prestações anuais à taxa de 3% a.a. Indique a alternativa que apresente respectivamente o valor da amortização e o saldo devedor referentes a quinta parcela?

A) $ 7.122,82; $ 32.620,43
B) $ 978,61; $ 6.144,21
C) $ 6.328,53; $ 20.147,69
D) $ 6.518,39; $ 13.629,30

Answer 1

No sistema Price, temos parcelas iguais (valor fixo) em que o valor de amortização é progressivo e dos juros pagos, regressivo em relação as parcelas anteriores.  

Podemos montar a seguinte equação para o pagamento da divida:

$VP~=~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^1}~+~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^2}~+~...~+~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^8}\\\\\\Substituindo~os~valores\\\\\\\boxed{50\,000~=~\dfrac{Prestacao}{(1,03)^1}~+~\dfrac{Prestacao}{(1,03)^2}~+~...~+~\dfrac{Prestacao}{(1,03)^8}}$

Poderíamos resolver a equação, no entanto, para facilitar, temos a seguinte equação para o valor da parcela no sistema Price:

$Parcela~=~PV\cdot\dfrac{(1+Taxa)^{Periodo}\cdot Taxa}{(1+Taxa)^{Periodo}-1}\\\\\\Substituindo~os~valores~e~calculando:\\\\\\Parcela~=~50\,000\cdot\dfrac{\overbrace{(1,03)^{8}\cdot 0,03}^{\approx~0,038003}}{\underbrace{(1,03)^{8}}_{\approx~1,2668}-1}\\\\\\Parcela~\approx~50\,000\cdot\dfrac{0,038003}{1,2668-1}\\\\\\Parcela~\approx~50\,000\cdot0,14244\\\\\\\boxed{Parcela~\approx~7.122,00}$

Cada prestação é "composta" de uma parcela de amortização da divida e uma parcela de juros.

Vamos então fazer uma tabela para achar o que é pedido.

                $\begin{array}{|c|c|c|c|}n&Juros&Amortizacao&Saldo~Devedor\\0&~~~~~~0~~~~~~&0&50.000,00\\1&&&\\2&&&\\3&&&\\4&&&\\5&&&\end{array}$

Onde o saldo devedor é calculado pela diferença entre o saldo no período anterior e a amortização da prestação (atual).

No pagamento da 1ª prestação, há incidência de juros sobre o saldo devedor de 50.000,00 (total da divida),

$Juros_1~=~50.000,00\times 0,03~=~\boxed{1.500,00}\\\\Amortizacao_1~=~7.122,00-1.500,00~=~\boxed{5.622,00}\\\\Saldo~Devedor_1~=~50.000,00~-~5.622,00~=~\boxed{44.378,00}$

              $\begin{array}{|c|c|c|c|}n&Juros&Amortizacao&Saldo~Devedor\\0&~~~~~~0~~~~~~&0&50.000,00\\1&1.500,00&5.622,00&44.378,00\\2&&&\\3&&&\\4&&&\\5&&&\end{array}$

Efetuando os cálculos para os próximos períodos, chegamos a:

$Juros_2~=~44.378,00\times 0,03~=~\boxed{1.331,34}\\\\Amortizacao_2~=~7.122,00-1.331,34~=~\boxed{5.790,66}\\\\Saldo~Devedor_2~=~44.378,00~-~5.790,66~=~\boxed{38.587,34}$

$Juros_3~=~38.587,34\times 0,03~=~\boxed{1.157,62}\\\\Amortizacao_3~=~7.122,00-1.157,62~=~\boxed{5.964,38}\\\\Saldo~Devedor_3~=~38.587,34~-~5.964,38~=~\boxed{32.622,96}$

$Juros_4~=~32.622,96\times 0,03~=~\boxed{978,69}\\\\Amortizacao_4~=~7.122,00-978,69~=~\boxed{6.143,31}\\\\Saldo~Devedor_4~=~32.622,96~-~6.143,31~=~\boxed{26.479,65}$

$Juros_5~=~26.479,65\times 0,03~=~\boxed{794,39}\\\\Amortizacao_5~=~7.122,00-794,39~=~\boxed{6.327,61}\\\\Saldo~Devedor_5~=~26.479,65~-~6.327,61~=~\boxed{20.152,04}$

                 $\begin{array}{|c|c|c|c|}n&Juros&Amortizacao&Saldo~Devedor\\0&~~~~~~0~~~~~~&0&50.000,00\\1&1.500,00&5.622,00&44.378,00\\2&1.331,34&5.790,66&38.587,34\\3&1.157,62&5.964,38&32.622,96\\4&978,69&6.143,31&26.479,65\\5&794,39&6.327,61&20.152,04\end{array}$

Resposta: Letra (c)

Obs.:  Devido aos arredondamentos, os valores apresentaram um pequena diferença.